При адиабатическом процессе работа газа равна: $$A =\frac{\nu RT}{\gamma - 1}(1 - (\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1})$$ Работа компрессора равна: $$A' = -A$$ $\nu RT$ для обоих компрессоров одинаковое, ввиду одинаковости начальных температур. Из закона Менделеева-Клапейрона: $$\nu RT = P_{0}V_{0}$$ Следовательно работа компрессора 1 и компрессора 2: $$A'_{1} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{0}}{V_{1}})^{\gamma - 1} - 1)$$ $$A'_{2} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1} - 1)$$ Полная работа: $$A = A'_{1} + A'_{2} = \frac{P_{0}V_{0}}{\gamma - 1}((\frac{V_{0}}{V_{1}})^{\gamma - 1} + (\frac{V_{1}}{V_{2}})^{\gamma - 1} - 2)$$ Для нахождения оптимального $V_{1}$ возьмем производную от выражения в скобках и приравняем к нулю: $(1 - \gamma)V_{0}^{\gamma - 1}V_{1}^{-\gamma} + (\gamma - 1)V_{2}^{1 - \gamma}V_{1}^{\gamma - 2} = 0$ Решая, получим: $V_{1} = \sqrt{V_{0}V_{2}}$ Подставим $V_{1}$ и значение $\gamma = \frac{7}{5}$ в формулу для суммарной работы и получим: $$A_{min} = 5P_{0}V_{0}((\frac{V_{0}}{V_{2}})^{frac{1}{5}} - 1)$$ Затем, подставив эти значения в формулы для $A'_{1}$ и $A'_{2}$, можно сделать вывод, что каждый компрессор совершает одинаковую работу равную $\frac{A_{min}}{2}$.