Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/4.3.6.md
+35 −3
| @@ -1,11 +1,43 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $4.3.6.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $4.3.6.$ По изогнутой под прямым углом трубе поперечного сечения $S$ со скоростью $\upsilon$ течет жидкость плотности $\rho$. С какой силой жидкость действует на трубу, если давление жидкости на выходе из трубы $P$? Силой тяжести пренебречь. | ||
| ### Решение | |||
| − | sfd | ||
| + | Масса жидкости, протекающей по трубе за бесконечно малое время $dt$: | ||
| + | $$dm=\rho S\upsilon dt$$ | ||
| + | |||
| + | Пусть ось $x$ направлена вдоль входного участка трубы (единичный вектор $\vec i$), а ось $y$ — вдоль выходного (единичный вектор $\vec j$). Так как площадь поперечного сечения труби везде одинакова, то по закону сохранения массы модуль скорости жидкости, что на входе, что на выходе из трубы, будет одинаков. Тогда скорость на входе: $\upsilon\vec i$, а на выходе: $\upsilon\vec j$. Изменение скорости: | ||
| + | |||
| + | $$\Delta\vec\upsilon=\upsilon(\vec i-\vec j)$$ | ||
| + | |||
| + | Изменение импульса: | ||
| + | |||
| + | $$d\vec p=dm\cdot \Delta\vec\upsilon=\rho S\upsilon^{2}(\vec i-\vec j)dt\Longrightarrow \frac{d\vec p}{dt}=\rho S\upsilon^{2}(\vec i-\vec j)$$ | ||
| + | |||
| + | По второму закону Ньютона изменение импульса вызвано реактивной силой: | ||
| + | |||
| + | $$\vec F_{р}=\frac{d\vec p}{dt}=\rho S\upsilon^{2}(\vec i-\vec j)$$ | ||
| + | |||
| + | Кроме этой силы, со стороны жидкости на трубу действуют силы давления. | ||
| + | |||
| + | Согласно уравнению Бернулли: | ||
| + | |||
| + | $$P_{вх}+\frac{1}{2}\rho\upsilon^{2}=P+\frac{1}{2}\rho\upsilon^{2}\Longrightarrow P_{вх}=P$$ | ||
| + | |||
| + | Давление на входе действует на площадь поперечного сечения трубы по направлению $\vec i$ и вызывает силу: $\vec F_{вх}=PS\vec i$. На выходе давление действует на площадь поперечного сечения трубы по направлению $-\vec j$ и вызывает силу: $\vec F_{вых}=-PS\vec j$. Результирующая сила давления: | ||
| + | |||
| + | $$\vec F_{д}=PS\vec i-PS\vec j=PS(\vec i-\vec j)$$ | ||
| + | |||
| + | Итоговая сила, с которой жидкость действует на трубу: | ||
| + | |||
| + | $$\vec F=\vec F_{р}+\vec F_{д}=\rho S\upsilon^{2}(\vec i-\vec j)+PS(\vec i-\vec j)=(P+\rho \upsilon^{2})S\vec i-(P+\rho \upsilon^{2})S\vec j$$ | ||
| + | |||
| + | Модуль данной силы: | ||
| + | |||
| + | $$|F|=\sqrt{F_{i}^{2}+F_{j}^{2}}=\sqrt{\left( (P+\rho \upsilon^{2})S \right)^{2}+\left( -(P+\rho \upsilon^{2})S \right)^{2}}=\sqrt{2}(P+\rho \upsilon^{2})S$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $F=\sqrt{2}(P+\rho\upsilon^{2})S$ | ||
| @@ -1,11 +1,43 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.3.6.$ [Вставьте условие задачи] | $4.3.6.$ По изогнутой под прямым углом трубе поперечного сечения $S$ со скоростью $\upsilon$ течет жидкость плотности $\rho$. С какой силой жидкость действует на трубу, если давление жидкости на выходе из трубы $P$? Силой тяжести пренебречь. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| sfd | Масса жидкости, протекающей по трубе за бесконечно малое время $dt$: | ||
| $$dm=\rho S\upsilon dt$$ | |||
| Пусть ось $x$ направлена вдоль входного участка трубы (единичный вектор $\vec i$), а ось $y$ — вдоль выходного (единичный вектор $\vec j$). Так как площадь поперечного сечения труби везде одинакова, то по закону сохранения массы модуль скорости жидкости, что на входе, что на выходе из трубы, будет одинаков. Тогда скорость на входе: $\upsilon\vec i$, а на выходе: $\upsilon\vec j$. Изменение скорости: | |||
| $$\Delta\vec\upsilon=\upsilon(\vec i-\vec j)$$ | |||
| Изменение импульса: | |||
| $$d\vec p=dm\cdot \Delta\vec\upsilon=\rho S\upsilon^{2}(\vec i-\vec j)dt\Longrightarrow \frac{d\vec p}{dt}=\rho S\upsilon^{2}(\vec i-\vec j)$$ | |||
| По второму закону Ньютона изменение импульса вызвано реактивной силой: | |||
| $$\vec F_{р}=\frac{d\vec p}{dt}=\rho S\upsilon^{2}(\vec i-\vec j)$$ | |||
| Кроме этой силы, со стороны жидкости на трубу действуют силы давления. | |||
| Согласно уравнению Бернулли: | |||
| $$P_{вх}+\frac{1}{2}\rho\upsilon^{2}=P+\frac{1}{2}\rho\upsilon^{2}\Longrightarrow P_{вх}=P$$ | |||
| Давление на входе действует на площадь поперечного сечения трубы по направлению $\vec i$ и вызывает силу: $\vec F_{вх}=PS\vec i$. На выходе давление действует на площадь поперечного сечения трубы по направлению $-\vec j$ и вызывает силу: $\vec F_{вых}=-PS\vec j$. Результирующая сила давления: | |||
| $$\vec F_{д}=PS\vec i-PS\vec j=PS(\vec i-\vec j)$$ | |||
| Итоговая сила, с которой жидкость действует на трубу: | |||
| $$\vec F=\vec F_{р}+\vec F_{д}=\rho S\upsilon^{2}(\vec i-\vec j)+PS(\vec i-\vec j)=(P+\rho \upsilon^{2})S\vec i-(P+\rho \upsilon^{2})S\vec j$$ | |||
| Модуль данной силы: | |||
| $$|F|=\sqrt{F_{i}^{2}+F_{j}^{2}}=\sqrt{\left( (P+\rho \upsilon^{2})S \right)^{2}+\left( -(P+\rho \upsilon^{2})S \right)^{2}}=\sqrt{2}(P+\rho \upsilon^{2})S$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $F=\sqrt{2}(P+\rho\upsilon^{2})S$ | ||