Решение

Масса жидкости, протекающей по трубе за бесконечно малое время $dt$:

$$dm=\rho S\upsilon dt$$

Пусть ось $x$ направлена вдоль входного участка трубы (единичный вектор $\vec i$), а ось $y$ — вдоль выходного (единичный вектор $\vec j$). Так как площадь поперечного сечения труби везде одинакова, то по закону сохранения массы модуль скорости жидкости, что на входе, что на выходе из трубы, будет одинаков. Тогда скорость на входе: $\upsilon\vec i$, а на выходе: $\upsilon\vec j$. Изменение скорости:

$$\Delta\vec\upsilon=\upsilon(\vec i-\vec j)$$

Изменение импульса:

$$d\vec p=dm\cdot \Delta\vec\upsilon=\rho S\upsilon^{2}(\vec i-\vec j)dt\Longrightarrow \frac{d\vec p}{dt}=\rho S\upsilon^{2}(\vec i-\vec j)$$

По второму закону Ньютона изменение импульса вызвано реактивной силой:

$$\vec F_{р}=\frac{d\vec p}{dt}=\rho S\upsilon^{2}(\vec i-\vec j)$$

Кроме этой силы, со стороны жидкости на трубу действуют силы давления.

Согласно уравнению Бернулли:

$$P_{вх}+\frac{1}{2}\rho\upsilon^{2}=P+\frac{1}{2}\rho\upsilon^{2}\Longrightarrow P_{вх}=P$$

Давление на входе действует на площадь поперечного сечения трубы по направлению $\vec i$ и вызывает силу: $\vec F_{вх}=PS\vec i$. На выходе давление действует на площадь поперечного сечения трубы по направлению $-\vec j$ и вызывает силу: $\vec F_{вых}=-PS\vec j$. Результирующая сила давления:

$$\vec F_{д}=PS\vec i-PS\vec j=PS(\vec i-\vec j)$$

Итоговая сила, с которой жидкость действует на трубу:

$$\vec F=\vec F_{р}+\vec F_{д}=\rho S\upsilon^{2}(\vec i-\vec j)+PS(\vec i-\vec j)=(P+\rho \upsilon^{2})S\vec i-(P+\rho \upsilon^{2})S\vec j$$

Модуль данной силы:

$$|F|=\sqrt{F_{i}^{2}+F_{j}^{2}}=\sqrt{\left( (P+\rho \upsilon^{2})S \right)^{2}+\left( -(P+\rho \upsilon^{2})S \right)^{2}}=\sqrt{2}(P+\rho \upsilon^{2})S$$