6.2.14∗. $а.$ При пересечении двух шаров радиуса $R$, центры которых находятся на расстоянии $l$ друг от друга, образуются два «полумесяца», равномерно заряженные разноименными электрическими зарядами. Объемная плотность электрического заряда слева $−\rho$, справа $\rho$. Докажите, что электрическое поле в области пересечения шаров однородно. Найдите напряженность этого поля.
$б.$ Используя результаты задачи $6.2.14^* а$ и применяя метод предельного перехода: $l \to 0$,$\rho\to\infty$,$l\rho = const$, найдите распределение заряда на сфере радиуса $R$,которое даст внутри сферы однородное электрическое поле напряженности $E$. Как связана с напряженностью поля максимальная поверхностная плотность заряда?
Решение
$а.$ Поле внутри равномерно заряженного шара с объёмной плотностью заряда $\rho$, как мы нашли в задаче $6.2.6 ~г$, равно $$\vec{E_s}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r}$$ где $\vec{r}$ - вектор, проведённый из центра шара к рассматривоемой точке.
Если совместить 2 таких шара радиуса $R$ и плотностью заряда $−\rho$ и $\rho$ как указано на рисунке, то получится описанная в задаче конфигурация.
Введём вектор $\vec{l}$, направленный из центра положительно заряженного шара в центр отрицательно заряженного, и равный по модулю $l$
Выберем любую точку в области пересечения шаров. Поле в этой точке будет суперпозицией полей двух разноимённо заряженных шаров: $$\vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1} -\vec{r_2})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{l}$$ Заметим, что поле в любой точке будет направлено вдоль $\vec{l}$ и равно по модулю $E=\frac{\rho l}{3\varepsilon_0}$, значит, поле в области пересечения шаров однородно.
$б.$ Пусть $l \to 0$, тогда мы имеем одну сферу радиуса $R$ с тонко "размазанным" по поверхности зарядом.
Рассмотрим некую точку на поверхности сферы. Пусть $\angle\alpha=\angle(\vec{l},\vec{r})$. Поверхностную плотность заряда можно представить как $$\sigma=\rho l\cos\alpha=3\varepsilon_0E\cos\alpha$$ Максимум этой функции, очевидно, равен $$\sigma_{max}=3\varepsilon_0E$$
