Решение

$а.$ Поле внутри равномерно заряженного шара с объёмной плотностью заряда $\rho$, как мы нашли в
задаче $6.2.6 ~г$, равно
$$\vec{E_s}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{r}$$
где $\vec{r}$ - вектор, проведённый из центра шара к рассматривоемой точке.

Если совместить 2 таких шара радиуса $R$ и плотностью заряда $−\rho$ и $\rho$ как указано на рисунке, то получится описанная в задаче конфигурация.

Введём вектор $\vec{l}$, направленный из центра положительно заряженного шара в центр отрицательно заряженного, и равный по модулю $l$

Выберем любую точку в области пересечения шаров. Поле в этой точке будет суперпозицией полей двух разноимённо заряженных шаров:
$$\vec{E}=\vec{E_{s1}}+\vec{E_{s2}}=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}(\vec{r_1} -\vec{r_2})=\frac{\rho}{3\varepsilon_0}\vec{l}$$
Заметим, что поле в любой точке будет направлено вдоль $\vec{l}$ и равно по модулю $E=\frac{\rho l}{3\varepsilon_0}$, значит, поле в области пересечения шаров однородно.

$б.$
Пусть $l \to 0$, тогда мы имеем одну сферу радиуса $R$ с тонко "размазанным" по поверхности зарядом.

Рассмотрим некую точку на поверхности сферы. Пусть $\angle\alpha=\angle(\vec{l},\vec{r})$.
Поверхностную плотность заряда можно представить как
$$\sigma=\rho\Delta l$$
где $\Delta l$ - нормальное расстояние между оболочками двух шаров