Правка раздела «Условие»
ru/10.1.13.md
+1 −1
| ### Условие | |||
| $10.1.13.$ $\textbf{а. }$ Вакуумное устройство состоит из соосных цилиндра радиуса $R$ и проволочки, помещенных в продольное магнитное поле индукции $B$. При нагревании проволочки с ее поверхности вылетают электроны с кинетической энергией $K$; при этом во внешней цепи между цилиндром и проволочкой протекает ток $I$. Нарисуйте зависимость $I$ от $B$. Найдите значения $B$, при которых ток в вакууме равен нулю. | |||
| @@ -4,7 +4,7 @@Условие | |||
| $\textbf{б. }$ На рисунке изображены две зависимости $I$ от $B$ при различном давлении $P_{1}$ и $P_{2}$ остаточных газов. Какое давление больше? | |||
| − |  | ||
| ### Решение | |||
| $\textbf{а. }$ Поперечным размером проволоки - пренебрегаем. Будем считать, что электроны вылетают из проволоки радиально и их скорости $\upsilon$ строго перпендикулярны силовым линиям. На электрон действует сила Лоренца, которая закручивает электрон по окружности. Согласно второго закона Ньютона: | |||
| $$eB\upsilon=\frac{m_{e}\upsilon^{2}}{r}\Rightarrow r=\frac{m_{e}\upsilon}{eB} \tag{1}$$ | |||
| Из определения кинетической энергии: | |||
| $$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=K\Rightarrow \upsilon=\sqrt{\frac{2K}{m_{e}}} \tag{2}$$ | |||
| Подставим (2) в (1): | |||
| $$r=\frac{m_{e}}{eB}\sqrt{\frac{2K}{m_{e}}}=\frac{\sqrt{2m_{e}K}}{eB}$$ | |||
| Видим, что чем больше $B$, тем менше $r$. Условие достижения электроном стенки цилиндра радиуса $R$: | |||
| $$2r\ge R$$ | |||
| $$2\cdot\frac{\sqrt{2m_{e}K}}{eB}\ge R$$ | |||
| Отсюда граничное значение магнитной индукции: | |||
| $$B_{0}=\frac{2\sqrt{2m_{e}K}}{eR}$$ | |||
| При $B\le B_{0}$ в вакууме все электроны достигнут цилиндра и будет идти некоторый постоянный ток $I_{0}$. При $B\gt B_{0}$ электроны не достигнут стенки цилиндра и ток будет отсутствовать. График зависимости $I(B)$ в вакууме будет в виде ступеньки: | |||
|  | |||
| $\textbf{б. }$ При наличии остаточного газа электроны могут сталкиваться с молекулами газа. Такие столкновения изменяют направления скоростей — это даёт шанс электрону достичь стенки цилиндра даже если первоначально $2r\lt R$. Следовательно, при более высоком давлении происходит больше столкновений и ток сохраняется при больших $B$. Из графика условия задачи видно, что граничное значение магнитной индукции: | |||
| $$B_{0_{2}} \gt B_{0_{1}}$$ | |||
| Значит, $P_{2}\gt P_{1}$. | |||
| #### Ответ | |||
| $\textbf{а. }$  | |||
| $$B\ge B_{0}=\frac{2\sqrt{2m_{e}K}}{eR}$$ | |||
| $\textbf{б. }$ $P_{2}\gt P_{1}$ | |||
| ещё строк без изменений 38 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $10.1.13.$ $\textbf{а. }$ Вакуумное устройство состоит из соосных цилиндра радиуса $R$ и проволочки, помещенных в продольное магнитное поле индукции $B$. При нагревании проволочки с ее поверхности вылетают электроны с кинетической энергией $K$; при этом во внешней цепи между цилиндром и проволочкой протекает ток $I$. Нарисуйте зависимость $I$ от $B$. Найдите значения $B$, при которых ток в вакууме равен нулю. | $10.1.13.$ $\textbf{а. }$ Вакуумное устройство состоит из соосных цилиндра радиуса $R$ и проволочки, помещенных в продольное магнитное поле индукции $B$. При нагревании проволочки с ее поверхности вылетают электроны с кинетической энергией $K$; при этом во внешней цепи между цилиндром и проволочкой протекает ток $I$. Нарисуйте зависимость $I$ от $B$. Найдите значения $B$, при которых ток в вакууме равен нулю. | ||
| @@ -4,7 +4,7 @@Условие | |||
| $\textbf{б. }$ На рисунке изображены две зависимости $I$ от $B$ при различном давлении $P_{1}$ и $P_{2}$ остаточных газов. Какое давление больше? | $\textbf{б. }$ На рисунке изображены две зависимости $I$ от $B$ при различном давлении $P_{1}$ и $P_{2}$ остаточных газов. Какое давление больше? | ||
|  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| $\textbf{а. }$ Поперечным размером проволоки - пренебрегаем. Будем считать, что электроны вылетают из проволоки радиально и их скорости $\upsilon$ строго перпендикулярны силовым линиям. На электрон действует сила Лоренца, которая закручивает электрон по окружности. Согласно второго закона Ньютона: | $\textbf{а. }$ Поперечным размером проволоки - пренебрегаем. Будем считать, что электроны вылетают из проволоки радиально и их скорости $\upsilon$ строго перпендикулярны силовым линиям. На электрон действует сила Лоренца, которая закручивает электрон по окружности. Согласно второго закона Ньютона: | ||
| $$eB\upsilon=\frac{m_{e}\upsilon^{2}}{r}\Rightarrow r=\frac{m_{e}\upsilon}{eB} \tag{1}$$ | $$eB\upsilon=\frac{m_{e}\upsilon^{2}}{r}\Rightarrow r=\frac{m_{e}\upsilon}{eB} \tag{1}$$ | ||
| Из определения кинетической энергии: | Из определения кинетической энергии: | ||
| $$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=K\Rightarrow \upsilon=\sqrt{\frac{2K}{m_{e}}} \tag{2}$$ | $$\frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{2}=K\Rightarrow \upsilon=\sqrt{\frac{2K}{m_{e}}} \tag{2}$$ | ||
| Подставим (2) в (1): | Подставим (2) в (1): | ||
| $$r=\frac{m_{e}}{eB}\sqrt{\frac{2K}{m_{e}}}=\frac{\sqrt{2m_{e}K}}{eB}$$ | $$r=\frac{m_{e}}{eB}\sqrt{\frac{2K}{m_{e}}}=\frac{\sqrt{2m_{e}K}}{eB}$$ | ||
| Видим, что чем больше $B$, тем менше $r$. Условие достижения электроном стенки цилиндра радиуса $R$: | Видим, что чем больше $B$, тем менше $r$. Условие достижения электроном стенки цилиндра радиуса $R$: | ||
| $$2r\ge R$$ | $$2r\ge R$$ | ||
| $$2\cdot\frac{\sqrt{2m_{e}K}}{eB}\ge R$$ | $$2\cdot\frac{\sqrt{2m_{e}K}}{eB}\ge R$$ | ||
| Отсюда граничное значение магнитной индукции: | Отсюда граничное значение магнитной индукции: | ||
| $$B_{0}=\frac{2\sqrt{2m_{e}K}}{eR}$$ | $$B_{0}=\frac{2\sqrt{2m_{e}K}}{eR}$$ | ||
| При $B\le B_{0}$ в вакууме все электроны достигнут цилиндра и будет идти некоторый постоянный ток $I_{0}$. При $B\gt B_{0}$ электроны не достигнут стенки цилиндра и ток будет отсутствовать. График зависимости $I(B)$ в вакууме будет в виде ступеньки: | При $B\le B_{0}$ в вакууме все электроны достигнут цилиндра и будет идти некоторый постоянный ток $I_{0}$. При $B\gt B_{0}$ электроны не достигнут стенки цилиндра и ток будет отсутствовать. График зависимости $I(B)$ в вакууме будет в виде ступеньки: | ||
|  |  | ||
| $\textbf{б. }$ При наличии остаточного газа электроны могут сталкиваться с молекулами газа. Такие столкновения изменяют направления скоростей — это даёт шанс электрону достичь стенки цилиндра даже если первоначально $2r\lt R$. Следовательно, при более высоком давлении происходит больше столкновений и ток сохраняется при больших $B$. Из графика условия задачи видно, что граничное значение магнитной индукции: | $\textbf{б. }$ При наличии остаточного газа электроны могут сталкиваться с молекулами газа. Такие столкновения изменяют направления скоростей — это даёт шанс электрону достичь стенки цилиндра даже если первоначально $2r\lt R$. Следовательно, при более высоком давлении происходит больше столкновений и ток сохраняется при больших $B$. Из графика условия задачи видно, что граничное значение магнитной индукции: | ||
| $$B_{0_{2}} \gt B_{0_{1}}$$ | $$B_{0_{2}} \gt B_{0_{1}}$$ | ||
| Значит, $P_{2}\gt P_{1}$. | Значит, $P_{2}\gt P_{1}$. | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $\textbf{а. }$  | $\textbf{а. }$  | ||
| $$B\ge B_{0}=\frac{2\sqrt{2m_{e}K}}{eR}$$ | $$B\ge B_{0}=\frac{2\sqrt{2m_{e}K}}{eR}$$ | ||
| $\textbf{б. }$ $P_{2}\gt P_{1}$ | $\textbf{б. }$ $P_{2}\gt P_{1}$ | ||
| ещё строк без изменений 38 | |||