Решение

Пусть время остановки пули равно $dt$, тогда, чтобы остановить, ящик может двигаться только по горизонтали, значит в момент попадания и пули гаситься вертикальная проекция импульса силой реакции опоры (песка) $N_1$, тогда

$$N_1dt = mv\cos\alpha\Rightarrow N_1 = \frac{mv\cos\alpha}{dt}$$

Распишем силу трения в этот момент:

$$F_{\text{тр}} \leq \mu N = \mu ((M+m)g + N_1) = \mu (M+m)g + \mu\frac{mv\cos\alpha}{dt}$$

Так как $dt$ бесконечно малая величина, то

$$N_1 \gg (M+m)g \Rightarrow F_{\text{тр}} \leq \mu\frac{mv\cos\alpha}{dt}$$

Теперь запишем изменение импульса ящика с песком за $dt$

$$\Delta p = F_{\text{тр}}dt \leq \mu mv \cos\alpha$$

($F_{\text{тр}}$ и $\Delta p$ не достигают наибольшего значения только в ситуации, когда ящик продолжает покоиться) В момент соударения ящик с пулей приобретают импульс:

$$p_1 = mv\sin\alpha$$

(горизонтальная проекция импульса пули)

Для того, чтобы сдвинуть ящик, нужно, чтобы

$$p_1 > \Delta p$$

$$mv\sin\alpha > \mu mv\cos\alpha$$

таким образом мы получили условие движения ящика $\tan\alpha > \mu$. После соударения, во время движения ящика, на него будет действовать сила трения

$$F_{\text{тр}}= \mu (M+m)g$$

Эта сила уменьшает полученный ящиком импульс $p_1 - \Delta p$ , тогда справедливо:

$$F_{\text{тр}}t = p_1 - \Delta p$$

$$t = \frac{p_1 - \Delta p}{F_{\text{тр}}}$$

$$\boxed{t = \frac{mv(\sin\alpha - \mu\cos\alpha )}{\mu (M+m)g}}$$