| ### Условие: | | ### Условие: |
| | | |
| $3.3.11.$ К наклонной стене подвешен маятник длины $l$. Маятник отклонили от вертикали на малый угол, в два раза превышающий угол наклона стены к вертикали, и отпустили. Найдите период колебаний маятника, если удары о стену абсолютно упругие. | | $3.3.11.$ К наклонной стене подвешен маятник длины $l$. Маятник отклонили от вертикали на малый угол, в два раза превышающий угол наклона стены к вертикали, и отпустили. Найдите период колебаний маятника, если удары о стену абсолютно упругие. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение: | | ### Решение: |
| | | |
| Ниже представлена анимация движения маятника, описанного в условии задачи | | Ниже представлена анимация движения маятника, описанного в условии задачи |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Перед просмотр решения рекомендую посмотреть решение аналогичной задачи [3.3.5](../3.3.5) | | Перед просмотр решения рекомендую посмотреть решение аналогичной задачи [3.3.5](../3.3.5) |
| | | |
| Угол поворота нити математического маятника описывается как | | Угол поворота нити математического маятника описывается как |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \varphi(t) = \varphi_0 \cos\omega t | | \varphi(t) = \varphi_0 \cos\omega t |
| $$ | | $$ |
| | | |
| В данном случае максимальный угол отклонения составляет | | В данном случае максимальный угол отклонения составляет |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \varphi_0 = 2\alpha | | \varphi_0 = 2\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Время за которое тело могло бы поднимяться от угла $\alpha$ до $2\alpha$ описывается уравнением | | Время за которое тело могло бы поднимяться от угла $\alpha$ до $2\alpha$ описывается уравнением |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \cos\omega t = \frac{1}{2} | | \cos\omega t = \frac{1}{2} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \omega t = \frac{\pi}{3} | | \omega t = \frac{\pi}{3} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| t = \frac{\pi}{3}\sqrt{\frac{l}{g}} | | t = \frac{\pi}{3}\sqrt{\frac{l}{g}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| За это же время маятник мог бы опуститься от $2\alpha$ до $\alpha$ | | За это же время маятник мог бы опуститься от $2\alpha$ до $\alpha$ |
| | | |
| Но т.к. тело упраго ударяеться о стенку, то переход $\alpha\rightarrow 2\alpha\rightarrow \alpha$ происходит мгновенно | | Но т.к. тело упраго ударяеться о стенку, то переход $\alpha\rightarrow 2\alpha\rightarrow \alpha$ происходит мгновенно |
| | | |
| Тогда полное время в пути(период одного колебания) уменьшается на $2t$ | | Тогда полное время в пути(период одного колебания) уменьшается на $2t$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}-2\frac{\pi}{3}\sqrt{\frac{l}{g}} | | T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}-2\frac{\pi}{3}\sqrt{\frac{l}{g}} |
| $$ | | $$ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{T = \frac{4\pi}{3}\sqrt{\frac{l}{g}}} | | \boxed{T = \frac{4\pi}{3}\sqrt{\frac{l}{g}}} |