Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/7.1.16.md
+39 −3
| @@ -1,11 +1,47 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $7.1.16.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $7.1.16.$ Две сферы радиуса $R$ имеют одинаковый заряд $Q$, распределенный равномерно по ее поверхности. Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону на поверхности одной из сфер, чтобы он достиг второй сферы? Расстояние между центрами сфер $l$. | ||
| ### Решение | |||
| − | sdf | ||
| + | Пусть электрон движеться вдоль оси $x$, соединяющей центры сфер. Запишем функцию потенциала на этой оси (алгебраическая сумма потенциалов от двух равномерно заряженных сфер): | ||
| + | $$\varphi(x)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{l-x} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Значение потенциала на поверхностях сфер одинаков: | ||
| + | |||
| + | $$\varphi_{пов}=\varphi(R)=\varphi(l-R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{R}+\frac{1}{l-R} \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Исследуем функцию $\varphi(x)$ на экстремум: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{d \varphi}{dx}=0$$ | ||
| + | $$-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{(l-x)^{2}}=0\Longrightarrow x=\frac{l}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Это точка минимума $\varphi(x)$, так как: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}=\frac{2}{x^{3}}+\frac{2}{(l-x)^{3}}\gt 0\text{ при }0\le x\le l$$ | ||
| + | |||
| + | Значение $\varphi(x)$ в точке минимума: | ||
| + | |||
| + | $$\varphi_{мин}(\frac{l}{2})=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{4}{l}$$ | ||
| + | |||
| + | Потенциальная энергия электрона $U(x)=-e\varphi(x)$. Поскольку $\varphi(x)$ имеет минимум в середине, то $U(x)$ имеет максимум в середине: электрон находится в потенциальной яме на поверхности сферы и чтобы перейти к другой сфере, надо дать энергию, чтобы подняться до максимума $U_{макс}=-e\varphi_{мин}$. Затем электрон сможет попасть на вторую сферу. | ||
| + | |||
| + | Минимальная кинетическая энергия, которую нужно сообщить электрону в начале, чтобы в конце иметь нулевую скорость на второй сфере: | ||
| + | |||
| + | $$K_{мин}=-e\varphi_{мин}-(-e\varphi_{пов})=e(\varphi_{пов}-\varphi_{мин})$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим: | ||
| + | |||
| + | $$K_{мин}=\frac{eQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{R}+\frac{1}{l-R}-\frac{4}{l} \right)\text{ при } l\gt 2R$$ | ||
| + | |||
| + | Данную формулу можно преобразовать: | ||
| + | |||
| + | $$K_{мин}=\frac{eQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{(2R-l)^{2}}{lR(l-R)}$$ | ||
| + | |||
| + | Видно, что при $l=2R$ получаем $K_{мин}=0$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$K\to 0\text{ при } l\to 2R$$ | ||
| + | $$K=\frac{eQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{R}+\frac{1}{l-R}-\frac{4}{l} \right)\text{ при } l\gt 2R$$ | ||
| @@ -1,11 +1,47 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.1.16.$ [Вставьте условие задачи] | $7.1.16.$ Две сферы радиуса $R$ имеют одинаковый заряд $Q$, распределенный равномерно по ее поверхности. Какую минимальную энергию нужно сообщить электрону на поверхности одной из сфер, чтобы он достиг второй сферы? Расстояние между центрами сфер $l$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| sdf | Пусть электрон движеться вдоль оси $x$, соединяющей центры сфер. Запишем функцию потенциала на этой оси (алгебраическая сумма потенциалов от двух равномерно заряженных сфер): | ||
| $$\varphi(x)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{l-x} \right)$$ | |||
| Значение потенциала на поверхностях сфер одинаков: | |||
| $$\varphi_{пов}=\varphi(R)=\varphi(l-R)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{R}+\frac{1}{l-R} \right)$$ | |||
| Исследуем функцию $\varphi(x)$ на экстремум: | |||
| $$\frac{d \varphi}{dx}=0$$ | |||
| $$-\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{(l-x)^{2}}=0\Longrightarrow x=\frac{l}{2}$$ | |||
| Это точка минимума $\varphi(x)$, так как: | |||
| $$\frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}}=\frac{2}{x^{3}}+\frac{2}{(l-x)^{3}}\gt 0\text{ при }0\le x\le l$$ | |||
| Значение $\varphi(x)$ в точке минимума: | |||
| $$\varphi_{мин}(\frac{l}{2})=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{4}{l}$$ | |||
| Потенциальная энергия электрона $U(x)=-e\varphi(x)$. Поскольку $\varphi(x)$ имеет минимум в середине, то $U(x)$ имеет максимум в середине: электрон находится в потенциальной яме на поверхности сферы и чтобы перейти к другой сфере, надо дать энергию, чтобы подняться до максимума $U_{макс}=-e\varphi_{мин}$. Затем электрон сможет попасть на вторую сферу. | |||
| Минимальная кинетическая энергия, которую нужно сообщить электрону в начале, чтобы в конце иметь нулевую скорость на второй сфере: | |||
| $$K_{мин}=-e\varphi_{мин}-(-e\varphi_{пов})=e(\varphi_{пов}-\varphi_{мин})$$ | |||
| Подставим: | |||
| $$K_{мин}=\frac{eQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{R}+\frac{1}{l-R}-\frac{4}{l} \right)\text{ при } l\gt 2R$$ | |||
| Данную формулу можно преобразовать: | |||
| $$K_{мин}=\frac{eQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{(2R-l)^{2}}{lR(l-R)}$$ | |||
| Видно, что при $l=2R$ получаем $K_{мин}=0$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$K\to 0\text{ при } l\to 2R$$ | ||
| $$K=\frac{eQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\left( \frac{1}{R}+\frac{1}{l-R}-\frac{4}{l} \right)\text{ при } l\gt 2R$$ | |||