Решение

Пусть длина ребра кубика - $a$, тогда масса кубика будет $\rho_{ж}a^{3}$. На кубик действует сила тяжести, сила Архимеда и сила поверхностного натяжения. Запишем второй закон Ньютона при условии, что кубик находится в равновесии:

$$F_{т}=F_{А}+F_{пов}$$

Сила тяжести:

$$F_{т}=\rho_{ж}ga^{3}$$

Поскольку кубик весь погружён в воду, то сила Архимеда:

$$F_{А}=\rho_{в}ga^{3}$$

Так как по периметру нижней грани образуется контактная линия длиной $4a$, то сила поверхностного натяжения:

$$F_{пов}=4a\sigma$$

Перепишем условие равновесия:

$$\rho_{ж}ga^{3}=\rho_{в}ga^{3}+4a\sigma$$

Отсюда:

$$a=\sqrt{\frac{4\sigma}{(\rho_{ж}-\rho_{в})g}}$$

Подставив числовые значения величин, получим:

$a=2,1$ мм

P.S. В ответе задачника опечатка.