Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от 6 сент. 2025 г., 18:40

правка #15442 предыдущая #15440 ← раньше

ru/7.4.15.md +50 −3

		@@ -1,11 +1,58 @@
			### Условие

		−	$7.4.15.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$7.4.15.$ На покоящийся позитроний налетает пучок таких же частиц. Какова должна быть минимальная скорость частиц в пучке, чтобы иногда происходил полный «развал» двух столкнувшихся позитрониев? Скорость орбитального движения электрона и позитрона в позитронии $\upsilon$.

			### Решение

		−	sdf
		+	В позитронии электрон и позитрон движутся по круговой орбите радиуса $r/2$ со скоростью $\upsilon$. Суммарная кинетическая энергия двух частиц:

		+	$$K=m\upsilon^{2}$$
		+
		+	Потенциальная энергия взаимодействия частиц:
		+
		+	$$U=-\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}$$
		+
		+	Запишем второй закон Ньютона для позитрония:
		+
		+	$$\frac{m\upsilon^{2}}{\frac{r}{2}}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\Longrightarrow 2m\upsilon^{2}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}$$
		+
		+	Сравнивая с формулой потенциальной энергии, видим, что: $U=-2m\upsilon^{2}$.
		+
		+	Тогда полная энергия позитрония:
		+
		+	$$E=K+U=m\upsilon^{2}-2m\upsilon^{2}=-m\upsilon^{2}$$
		+
		+	Это отрицательная величина — значит, система связана. Чтобы разрушить позитроний, нужно сообщить ему энергию по модулю равную $m\upsilon^{2}$.
		+
		+	Если сталкиваются два позитрония, то для их полного разрушения нужно:
		+
		+	$$\Delta E=2m\upsilon^{2}$$
		+
		+	Позитроний состоит из двух частиц по массе $m$, значит общая масса позитрония $2m$. По условию задачи один позитроний покоится, другой летит со скоростью $V$. Это скорость центра масс летящего позитрония. Тогда их относительная скорость равна: $\upsilon_{отн}=V-0=V$.
		+
		+	Относительная кинетическая энергия системы два позитрония равна:
		+
		+	$$K_{отн}=\frac{1}{2}\mu V^{2}$$
		+
		+	где $\mu$ - приведённая масса. Для одинаковых масс:
		+
		+	$$\mu=\frac{2m\cdot 2m}{2m+2m}=m$$
		+
		+	Значит:
		+
		+	$$K_{отн}=\frac{1}{2}m V^{2}$$
		+
		+	Именно эта энергия идёт на разрушение позитрониев. Для развала нужно, чтобы этой энергии хватило на разрыв двух позитрониев:
		+
		+	$$K_{отн}\ge \Delta E\Longrightarrow \frac{1}{2}m V^{2}\ge 2m\upsilon^{2}$$
		+
		+	Отсюда:
		+
		+	$$V^{2}\ge 4\upsilon^{2}$$
		+	$$V\ge 2\upsilon$$
		+
		+	Минимальное значение: $V_{мин}=2\upsilon$.
		+
			#### Ответ

		−	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
		+	$V_{мин}=2\upsilon$

	@@ -1,11 +1,58 @@
	### Условие		### Условие

	$7.4.15.$ [Вставьте условие задачи]		$7.4.15.$ На покоящийся позитроний налетает пучок таких же частиц. Какова должна быть минимальная скорость частиц в пучке, чтобы иногда происходил полный «развал» двух столкнувшихся позитрониев? Скорость орбитального движения электрона и позитрона в позитронии $\upsilon$.

	### Решение		### Решение

	sdf		В позитронии электрон и позитрон движутся по круговой орбите радиуса $r/2$ со скоростью $\upsilon$. Суммарная кинетическая энергия двух частиц:

			$$K=m\upsilon^{2}$$

			Потенциальная энергия взаимодействия частиц:

			$$U=-\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}$$

			Запишем второй закон Ньютона для позитрония:

			$$\frac{m\upsilon^{2}}{\frac{r}{2}}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\Longrightarrow 2m\upsilon^{2}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}$$

			Сравнивая с формулой потенциальной энергии, видим, что: $U=-2m\upsilon^{2}$.

			Тогда полная энергия позитрония:

			$$E=K+U=m\upsilon^{2}-2m\upsilon^{2}=-m\upsilon^{2}$$

			Это отрицательная величина — значит, система связана. Чтобы разрушить позитроний, нужно сообщить ему энергию по модулю равную $m\upsilon^{2}$.

			Если сталкиваются два позитрония, то для их полного разрушения нужно:

			$$\Delta E=2m\upsilon^{2}$$

			Позитроний состоит из двух частиц по массе $m$, значит общая масса позитрония $2m$. По условию задачи один позитроний покоится, другой летит со скоростью $V$. Это скорость центра масс летящего позитрония. Тогда их относительная скорость равна: $\upsilon_{отн}=V-0=V$.

			Относительная кинетическая энергия системы два позитрония равна:

			$$K_{отн}=\frac{1}{2}\mu V^{2}$$

			где $\mu$ - приведённая масса. Для одинаковых масс:

			$$\mu=\frac{2m\cdot 2m}{2m+2m}=m$$

			Значит:

			$$K_{отн}=\frac{1}{2}m V^{2}$$

			Именно эта энергия идёт на разрушение позитрониев. Для развала нужно, чтобы этой энергии хватило на разрыв двух позитрониев:

			$$K_{отн}\ge \Delta E\Longrightarrow \frac{1}{2}m V^{2}\ge 2m\upsilon^{2}$$

			Отсюда:

			$$V^{2}\ge 4\upsilon^{2}$$
			$$V\ge 2\upsilon$$

			Минимальное значение: $V_{мин}=2\upsilon$.

	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		$V_{мин}=2\upsilon$