Решение

В позитронии электрон и позитрон движутся по круговой орбите радиуса $r/2$ со скоростью $\upsilon$. Суммарная кинетическая энергия двух частиц:

$$K=m\upsilon^{2}$$

Потенциальная энергия взаимодействия частиц:

$$U=-\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}$$

Запишем второй закон Ньютона для позитрония:

$$\frac{m\upsilon^{2}}{\frac{r}{2}}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\Longrightarrow 2m\upsilon^{2}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}$$

Сравнивая с формулой потенциальной энергии, видим, что: $U=-2m\upsilon^{2}$.

Тогда полная энергия позитрония:

$$E=K+U=m\upsilon^{2}-2m\upsilon^{2}=-m\upsilon^{2}$$

Это отрицательная величина — значит, система связана. Чтобы разрушить позитроний, нужно сообщить ему энергию по модулю равную $m\upsilon^{2}$.

Если сталкиваются два позитрония, то для их полного разрушения нужно:

$$\Delta E=2m\upsilon^{2}$$

Позитроний состоит из двух частиц по массе $m$, значит общая масса позитрония $2m$. По условию задачи один позитроний покоится, другой летит со скоростью $V$. Это скорость центра масс летящего позитрония. Тогда их относительная скорость равна: $\upsilon_{отн}=V-0=V$.

Относительная кинетическая энергия системы два позитрония равна:

$$K_{отн}=\frac{1}{2}\mu V^{2}$$

где $\mu$ - приведённая масса. Для одинаковых масс:

$$\mu=\frac{2m\cdot 2m}{2m+2m}=m$$

Значит:

$$K_{отн}=\frac{1}{2}m V^{2}$$

Именно эта энергия идёт на разрушение позитрониев. Для развала нужно, чтобы этой энергии хватило на разрыв двух позитрониев:

$$K_{отн}\ge \Delta E\Longrightarrow \frac{1}{2}m V^{2}\ge 2m\upsilon^{2}$$

Отсюда:

$$V^{2}\ge 4\upsilon^{2}$$
$$V\ge 2\upsilon$$

Минимальное значение: $V_{мин}=2\upsilon$.