Решение

При смещении атома на $dx$ возникает возращающая сила:
$$F = k \cdot dx$$
где $k$ — искомая жёсткость межатомной связи.

Относительное удлинение:
$$\varepsilon = \frac{dx}{a}$$

Механическое напряжение:
$$\sigma = \frac{F}{S} = \frac{k \cdot dx}{S}$$
где $S$ — эффективная площадь, приходящаяся на одну связь.

Определение модуля Юнга:
$$E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{k \cdot dx / S}{dx / a} = \frac{k \cdot a}{S}$$

Оценочно примем, что на один атом приходится площадь $S \approx a^2$. Тогда имеем:
$$E = \frac{k \cdot a}{a^2} = \frac{k}{a}$$

Отсюда выразим жесткость $k$:
$$k = E \cdot a$$