Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/3.6.10.md
+25 −4
| @@ -1,11 +1,32 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.6.10.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $3.6.10.$ Относительное удлинение стержня равно $ε$. Найдите энергию упругой деформации на единицу объема, если модуль Юнга материала стержня равен $E$. Выразите полученную величину через силу, действующую на единицу | ||
| + | площади сечения и через нормальное напряжение $σ$. | ||
| ### Решение | |||
| + | Плотность энергии упругой деформации определяется как: | ||
| + | \[ | ||
| + | w = \int_0^\varepsilon \sigma(\varepsilon') d\varepsilon' | ||
| + | \] | ||
| + | По закону Гука: | ||
| + | $\sigma = E\varepsilon$ | ||
| − | ффф | ||
| + | Подставляем и интегрируем: | ||
| + | \[ | ||
| + | w = \int_0^\varepsilon E\varepsilon' d\varepsilon' = E \int_0^\varepsilon \varepsilon' d\varepsilon' = E \cdot \frac{\varepsilon^2}{2} | ||
| + | \] | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | Выражаем через напряжение $\sigma = E\varepsilon$: | ||
| + | \[ | ||
| + | w = \frac{E\varepsilon^2}{2} = \frac{(E\varepsilon)\varepsilon}{2} = \frac{\sigma\varepsilon}{2} | ||
| + | \] | ||
| − | |||
| + | Выражаем через силу на единицу площади: | ||
| + | \[ | ||
| + | w = \frac{\sigma^2}{2E} | ||
| + | \] | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | \[ | ||
| + | {w = \frac{E\varepsilon^2}{2} = \frac{\sigma\varepsilon}{2} = \frac{\sigma^2}{2E}} | ||
| + | \] | ||
| @@ -1,11 +1,32 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.6.10.$ [Вставьте условие задачи] | $3.6.10.$ Относительное удлинение стержня равно $ε$. Найдите энергию упругой деформации на единицу объема, если модуль Юнга материала стержня равен $E$. Выразите полученную величину через силу, действующую на единицу | ||
| площади сечения и через нормальное напряжение $σ$. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Плотность энергии упругой деформации определяется как: | |||
| \[ | |||
| w = \int_0^\varepsilon \sigma(\varepsilon') d\varepsilon' | |||
| \] | |||
| По закону Гука: | |||
| $\sigma = E\varepsilon$ | |||
| ффф | Подставляем и интегрируем: | ||
| \[ | |||
| w = \int_0^\varepsilon E\varepsilon' d\varepsilon' = E \int_0^\varepsilon \varepsilon' d\varepsilon' = E \cdot \frac{\varepsilon^2}{2} | |||
| \] | |||
| #### Ответ | Выражаем через напряжение $\sigma = E\varepsilon$: | ||
| \[ | |||
| w = \frac{E\varepsilon^2}{2} = \frac{(E\varepsilon)\varepsilon}{2} = \frac{\sigma\varepsilon}{2} | |||
| \] | |||
| Выражаем через силу на единицу площади: | |||
| \[ | |||
| w = \frac{\sigma^2}{2E} | |||
| \] | |||
| #### Ответ | |||
| \[ | |||
| {w = \frac{E\varepsilon^2}{2} = \frac{\sigma\varepsilon}{2} = \frac{\sigma^2}{2E}} | |||
| \] | |||