Правка раздела «Решение»
ru/3.6.10.md
+1 −1
| ### Условие | |||
| $3.6.10.$ Относительное удлинение стержня равно $ε$. Найдите энергию упругой деформации на единицу объема, если модуль Юнга материала стержня равен $E$. Выразите полученную величину через силу, действующую на единицу | |||
| площади сечения и через нормальное напряжение $σ$. | |||
| ### Решение | |||
| Плотность энергии упругой деформации определяется как: | |||
| \[ | |||
| @@ -9,7 +9,7 @@Решение | |||
| w = \int_0^\varepsilon \sigma(\varepsilon') d\varepsilon' | |||
| \] | |||
| По закону Гука: | |||
| − | |||
| + | \[ \sigma = E\varepsilon \] | ||
| Подставляем и интегрируем: | |||
| \[ | |||
| w = \int_0^\varepsilon E\varepsilon' d\varepsilon' = E \int_0^\varepsilon \varepsilon' d\varepsilon' = E \cdot \frac{\varepsilon^2}{2} | |||
| \] | |||
| Выражаем через напряжение $\sigma = E\varepsilon$: | |||
| \[ | |||
| w = \frac{E\varepsilon^2}{2} = \frac{(E\varepsilon)\varepsilon}{2} = \frac{\sigma\varepsilon}{2} | |||
| \] | |||
| Выражаем через силу на единицу площади: | |||
| \[ | |||
| w = \frac{\sigma^2}{2E} | |||
| \] | |||
| #### Ответ | |||
| \[ | |||
| {w = \frac{E\varepsilon^2}{2} = \frac{\sigma\varepsilon}{2} = \frac{\sigma^2}{2E}} | |||
| \] | |||
| ещё строк без изменений 17 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.6.10.$ Относительное удлинение стержня равно $ε$. Найдите энергию упругой деформации на единицу объема, если модуль Юнга материала стержня равен $E$. Выразите полученную величину через силу, действующую на единицу | $3.6.10.$ Относительное удлинение стержня равно $ε$. Найдите энергию упругой деформации на единицу объема, если модуль Юнга материала стержня равен $E$. Выразите полученную величину через силу, действующую на единицу | ||
| площади сечения и через нормальное напряжение $σ$. | площади сечения и через нормальное напряжение $σ$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Плотность энергии упругой деформации определяется как: | Плотность энергии упругой деформации определяется как: | ||
| \[ | \[ | ||
| @@ -9,7 +9,7 @@Решение | |||
| w = \int_0^\varepsilon \sigma(\varepsilon') d\varepsilon' | w = \int_0^\varepsilon \sigma(\varepsilon') d\varepsilon' | ||
| \] | \] | ||
| По закону Гука: | По закону Гука: | ||
| \[ \sigma = E\varepsilon \] | |||
| Подставляем и интегрируем: | Подставляем и интегрируем: | ||
| \[ | \[ | ||
| w = \int_0^\varepsilon E\varepsilon' d\varepsilon' = E \int_0^\varepsilon \varepsilon' d\varepsilon' = E \cdot \frac{\varepsilon^2}{2} | w = \int_0^\varepsilon E\varepsilon' d\varepsilon' = E \int_0^\varepsilon \varepsilon' d\varepsilon' = E \cdot \frac{\varepsilon^2}{2} | ||
| \] | \] | ||
| Выражаем через напряжение $\sigma = E\varepsilon$: | Выражаем через напряжение $\sigma = E\varepsilon$: | ||
| \[ | \[ | ||
| w = \frac{E\varepsilon^2}{2} = \frac{(E\varepsilon)\varepsilon}{2} = \frac{\sigma\varepsilon}{2} | w = \frac{E\varepsilon^2}{2} = \frac{(E\varepsilon)\varepsilon}{2} = \frac{\sigma\varepsilon}{2} | ||
| \] | \] | ||
| Выражаем через силу на единицу площади: | Выражаем через силу на единицу площади: | ||
| \[ | \[ | ||
| w = \frac{\sigma^2}{2E} | w = \frac{\sigma^2}{2E} | ||
| \] | \] | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| \[ | \[ | ||
| {w = \frac{E\varepsilon^2}{2} = \frac{\sigma\varepsilon}{2} = \frac{\sigma^2}{2E}} | {w = \frac{E\varepsilon^2}{2} = \frac{\sigma\varepsilon}{2} = \frac{\sigma^2}{2E}} | ||
| \] | \] | ||
| ещё строк без изменений 17 | |||