Решение

Плотность энергии упругой деформации определяется как:
$$w = \int_0^\varepsilon \sigma(\varepsilon') d\varepsilon'$$
По закону Гука:
$$\sigma = E\varepsilon$$

Подставляем и интегрируем:
$$w = \int_0^\varepsilon E\varepsilon' d\varepsilon' = E \int_0^\varepsilon \varepsilon' d\varepsilon' = E \cdot \frac{\varepsilon^2}{2}$$

Выражаем через напряжение $\sigma = E\varepsilon$:
$$w = \frac{E\varepsilon^2}{2} = \frac{(E\varepsilon)\varepsilon}{2} = \frac{\sigma\varepsilon}{2}$$

Выражаем через силу на единицу площади:
$$w = \frac{\sigma^2}{2E}$$