3.5.5. Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда мальчик стоит на ней неподвижно, она прогибается на $0{,}1 \,\text{м}$. Когда же он идет со скоростью $3{,}6 \,\text{км/ч}$, то доска начинает так раскачиваться, что он падает в воду. Какова длина шага мальчика?
Решение
Условие равновесия мальчика на упругой доске: $$kx = mg \tag{1}$$ где $k$ — жёсткость доски, $m$ — масса мальчика, $x$ — прогиб доски.
Воспользуемся этим уравнением и найдем циклическую частоту собственных колебаний доски: $$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{g}{x}} \tag{2}$$
Тогда частота собственных колебаний доски равна: $$\nu_0 = \frac{\omega_0}{2\pi} \tag{3}$$
Когда мальчик движется по доске, у неё возникают вынужденные колебания. Так как доска раскачивается очень сильно, это свидетельствует о возникновении резонанса.
Условие возникновения резонанса: $$\nu_0 = \nu \tag{4}$$
Выразим частоту движения мальчика $\nu$ через длину шага $L$: $$\nu = \frac{v}{L} \tag{5}$$
Тогда из (4) получаем: $$\frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{x}} = \frac{v}{L}$$ $$L = 2\pi v \sqrt{\frac{x}{g}}$$
Подставим значения: $$v = 3{,}6 \,\text{км/ч} = 1{,}0 \,\text{м/с}, \quad x = 0{,}1 \,\text{м}, \quad g \approx 9{,}8 \,\text{м/с}^2$$