2.2.22∗. На гладком полу стоит сосуд, заполненный водой плотности $\rho_0$; объем воды $V_0$. Оказавшийся на дне сосуда жук- роман объема $V$ и плотности $\rho$ через некоторое время начинает ползти по дну сосуда со скоростью $u$ относительно него. С какой скоростью станет двигаться сосуд по полу? Массой сосуда пренебречь, уровень воды все время остается горизонтальным.
Решение
Т.к. система замкнута, то центр масс системы(относительно земли) с течением времени остается на месте
За малый промежуток времени $dt$ жук пройдет путь относительно дна сосуда
$$dx = u dt$$
Область объёма $V$ с плотностью $\rho$, которую занимал жук, теперь будет занимать вода с плотностью $\rho_0$
Учитывая, что общая масса системы равна
$$M = \rho V + \rho_0V_0$$
Получаем выражение для изменения координаты центра масс системы относительно аквариума
$$dx_с = dx \frac{\rho_0V − \rho V}{\rho V + \rho_0V_0}$$
Так как, относительно земли центр масс системы покоиться, то аквариум сместилась в противоположном направлении на тоже расстояние $dx_c$. Откуда найдем сокрость аквариума
$$v = \frac{dx_c}{dt}$$
$$\boxed{v=u \frac{(\rho_0 − \rho )V}{\rho V + \rho_0V_0}}$$
Ответ
$$v = uV \frac{\rho_0 − \rho}{\rho V + \rho_0V_0}$$
