| @@ -1,16 +1,57 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $7.1.7.$ [Вставьте условие задачи] |
| | + | $7.1.7.$ Пучок электронов$^{∗)}$ входит со скоростью $v$ в плоский конденсатор параллельно его пластинам. Напряжение на конденсаторе $U$ , длина пластин в направлении движения пучка $l$. Сколько электронов попадает на пластину конденсатора в единицу времени, если на входе в конденсатор пучок равномерно заполняет все расстояние между пластинами $d$ и имеет ширину $b$ в направлении, параллельном пластинам? Число электронов в единице объема пучка $n$. |
| | | |
| | + | $^{∗)}$ Если в задаче не требуется числового ответа, обозначайте массу электрона $m_e$, а его заряд $− e$. |
| | | ### Решение |
| | + |  |
| | + | Выберем $Ox$ сонаправленной полю, $Oy$ - начальной скорости $\vec{v} $ |
| | | |
| | − | Пучок электронов∗) входит со скоростью v в плоский конденсатор |
| | − | параллельно его пластинам. Напряжение на конденсаторе V , длина пластин в |
| | − | направлении движения пучка l. Сколько электронов попадает на пластину кон- |
| | − | денсатора в единицу времени, если на входе в конденсатор пучок равномерно |
| | − | заполняет все расстояние между пластинами d и имеет ширину b в направлении, |
| | − | параллельном пластинам? Число электронов в единице объема пучка n. |
| | + | Сила, действующая на электрон в поле конденсатора: |
| | + | $$ |
| | + | \vec{F_L}=\vec{a_x} m_e=-e\vec{E}; \\ E=\frac{dU}{dx}=\frac{V}{d}\tag{1} |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | y=vt |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | x=\frac{a_xt^2}{2}=\frac{eUt^2}{2dm_e} |
| | + | $$ |
| | + | Видно, что все электроны движуться по абсолютно одинаковым параболам, и если бы пучок был много уже конденсатора, он принял бы именно такую форму. |
| | | |
| | − | #### Ответ |
| | + | В единицу времени в конденсатор входит |
| | + | $$ |
| | + | \frac{dN}{dt}=nbd\frac{dy}{dt}=nbdv\tag{2} |
| | + | $$ |
| | + | электронов. Возможно 2 ситуации: |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] |
| | + | $ - $ когда все электроны успевают достичь стенки конденсатора, находясь внутри него. Тогда выражение (2) будет являться ответом. |
| | + | Условие для этого: |
| | + | $$ |
| | + | t_{выхода}=\frac{l}{v} |
| | + | $$ |
| | + | Момент столкновения с пластиной электрона, изначально бывшего на расстоянии $d$ от нее: |
| | + | $$ |
| | + | t_{max}=\sqrt{\frac{2d}{a_x}}=\sqrt{\frac{2d^2m_e}{eU}} |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | \boxed{t_{max}<t_{выхода}}\tag{3} |
| | + | $$ |
| | + | |
| | + | $ - $ обратный случай. Тогда чать электронов сможет выйти из конденсатора. Из идентичности их скоростей и ускорения можно сделать вывод, что плотность $n$ остаеться постоянной по всему пучку. Тогда его ширина на выходе: |
| | + | |
| | + | $$ |
| | + | d_{выхода}=d-\frac{a_xt_{выхода}^2}{2}=d-\frac{eUl^2}{2dm_ev^2}\tag{4} |
| | + | $$ |
| | + | Ответом является разность количества вошедших и вышедших в единицу времени электронов: |
| | + | $$ |
| | + | \frac{dN^*}{dt}=nbv(d-d_{выхода})=\frac{ neUbl^2}{2m_evd}\tag{5} |
| | + | $$ |
| | + | *У Савченко первый случай не рассмотрен |
| | + | #### Ответ |
| | + | $$ |
| | + | \frac{dN^*}{dt}=nbdv\qquad \text{при}\qquad \sqrt{\frac{2d^2m_e}{eU}}\leq\frac{l}{v} |
| | + | $$ |
| | + | $$ |
| | + | \frac{dN^*}{dt}=\frac{ neUbl^2}{2m_evd}\qquad \text{при}\qquad \sqrt{\frac{2d^2m_e}{eU}}>\frac{l}{v} |
| | + | $$ |
