7.1.7. Пучок электронов$^{∗)}$ входит со скоростью $v$ в плоский конденсатор параллельно его пластинам. Напряжение на конденсаторе $U$ , длина пластин в направлении движения пучка $l$. Сколько электронов попадает на пластину конденсатора в единицу времени, если на входе в конденсатор пучок равномерно заполняет все расстояние между пластинами $d$ и имеет ширину $b$ в направлении, параллельном пластинам? Число электронов в единице объема пучка $n$.
$^{∗)}$ Если в задаче не требуется числового ответа, обозначайте массу электрона $m_e$, а его заряд $− e$.
Решение
Выберем $Ox$ сонаправленной полю, $Oy$ - начальной скорости $\vec{v}$
Сила, действующая на электрон в поле конденсатора: $$\vec{F_L}=\vec{a_x} m_e=-e\vec{E}; \ E=\frac{dU}{dx}=\frac{V}{d}\tag{1}$$ $$y=vt$$ $$x=\frac{a_xt^2}{2}=\frac{eUt^2}{2dm_e}$$ Видно, что все электроны движуться по абсолютно одинаковым параболам, и если бы пучок был много уже конденсатора, он принял бы именно такую форму.
В единицу времени в конденсатор входит $$\frac{dN}{dt}=nbd\frac{dy}{dt}=nbdv\tag{2}$$ электронов. Возможно 2 ситуации:
$-$ когда все электроны успевают достичь стенки конденсатора, находясь внутри него. Тогда выражение (2) будет являться ответом. Условие для этого: $$t_{выхода}=\frac{l}{v}$$ Момент столкновения с пластиной электрона, изначально бывшего на расстоянии $d$ от нее: $$t_{max}=\sqrt{\frac{2d}{a_x}}=\sqrt{\frac{2d^2m_e}{eU}}$$ $$\boxed{t_{max}<t_{выхода}}\tag{3}$$
$-$ обратный случай. Тогда чать электронов сможет выйти из конденсатора. Из идентичности их скоростей и ускорения можно сделать вывод, что плотность $n$ остаеться постоянной по всему пучку. Тогда его ширина на выходе:
$$d_{выхода}=d-\frac{a_xt_{выхода}^2}{2}=d-\frac{eUl^2}{2dm_ev^2}\tag{4}$$ Ответом является разность количества вошедших и вышедших в единицу времени электронов: $$\frac{dN^*}{dt}=nbv(d-d_{выхода})=\frac{ neUbl^2}{2m_evd}\tag{5}$$ *У Савченко первый случай не рассмотрен
