Правка раздела «Решение»
ru/4.2.22.md
+7 −1
| ### Условие | |||
| $4.2.22.$ Какое количество теплоты выделится в водоеме при всплывании в нем воздушного пузыря радиуса $R = 0{,}1~\text{м}$ с глубины $H = 10~\text{м}$? | |||
|  | |||
| ### Решение | |||
| Рассмотрим систему водоем и пузырь. Считаем, что в конечном состоянии движения в системе нет. | |||
| Тогда в тепло $Q$ перешло изменение потенциальной энергии $\Delta \Pi$. | |||
| $$ | |||
| @@ -15,7 +15,13 @@Решение | |||
| Q=\Delta\Pi. | |||
| $$ | |||
| − | |||
| + | В процессе подъема пузырь будет менять форму. Но величину $\Delta \Pi$ можно вычислить просто. Она складывается из | ||
| + | |||
| + | - изменения потенциальной энергии $\Delta \Pi_\text{п}$ массы воздуха пузыря, которая поднимается на высоту $H$ | ||
| + | |||
| + | - и изменения потенциальной энергии $\Delta \Pi_\text{вп}$ массы тонкого приповерхностного слоя водоема, который как бы сливается в первоначальное место пузыря на глубине $H$. | ||
| + | |||
| + | Другие же части водоема как бы остаются при своих потенциальных энергиях [1]. | ||
| Тогда | |||
| $$ | |||
| \Delta\Pi=\left|\Delta\Pi_\text{п}+\Delta\Pi_\text{вп}\right|. | |||
| $$ | |||
| Слагаемые правой части распишем: | |||
| $$ | |||
| \Delta\Pi_\text{п}=\frac{4}{3}\pi R^3\rho_\text{п} gH\quad \text{и}\quad \Delta\Pi_\text{вп}=-\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, | |||
| $$ | |||
| где $\rho_\text{п}$ есть плотность воздуха в пузыре, $\rho$ есть плотность воды. | |||
| Так как $\rho_\text{п}\ll \rho$, то | |||
| $$ | |||
| \Delta \Pi=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, | |||
| $$ | |||
| значит, | |||
| $$ | |||
| Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH. | |||
| $$ | |||
| Примечание: можно показать, что сразу после всплытия кинетическая энергия движения системы составляет малую часть от изменения ее потенциальной энергии [2] (см. про присоединенную массу). | |||
| #### Литература | |||
| [1] Г. Коткин. Всплывающий пузырёк и закон Архимеда. «Квант», 1976, № 1. | |||
| [2] Задача Ф2623. Задачник «Кванта». «Квант», 2020, № 11-12. | |||
| ### Альтернативное решение | |||
| Буду считать процесс всплытия пузыря изотермическим процессом. Пусть $P_{0}$ - давление на поверхности водоёма. Во время всплытия объём пузыря увеличивается, поскольку давление падает, поэтому радиус пузыря есть функция глубины погружения $r=r(h)$. Запишем закон Бойля-Мариотта для двух состояний: на глубине $H$ и $h$ | |||
| $$(P_{0}+\rho gH)\frac{4}{3}\pi R^{3}=(P_{0}+\rho gh)\frac{4}{3}\pi r^{3}(h) \tag{1}$$ | |||
| $$r^{3}(h)=\frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}+\rho gh}\cdot R^{3} \tag{2}$$ | |||
| Элементарная работа силы Архимеда по перемещению объёма пузыря на малую высоту $dh$: | |||
| $$dA=\frac{4}{3}\pi r^{3}(h)\cdot \rho g\cdot dh=\frac{4}{3}\pi\rho g\cdot \frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}+\rho gh}\cdot R^{3}\cdot dh \tag{3}$$ | |||
| Полная работа найдётся путём интегрирования по всей глубине: | |||
| $$A=\frac{4}{3}\pi\rho g(P_{0}+\rho gH)R^{3}\cdot \int_{0}^{H}\frac{dh}{P_{0}+\rho gh} \tag{4}$$ | |||
| $$A=\frac{4}{3}\pi R^{3}(P_{0}+\rho gH)\cdot \ln\frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\cdot\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right) \tag{5}$$ | |||
| Эта работа будет равна выделенной теплоте: | |||
| $$Q=A=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\cdot\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right) \tag{6}$$ | |||
| Теперь предположим, что $\frac{\rho gH}{P_{0}}\ll 1$, тогда | |||
| $$\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\approx \frac{\rho gH}{P_{0}}$$ | |||
| и | |||
| $$\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\approx 1$$ | |||
| Тогда выражение (6) преобразуется: | |||
| $$Q=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\cdot\frac{\rho gH}{P_{0}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho gH$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, | |||
| $$ | |||
| где $\rho$ есть плотность воды. | |||
| ещё строк без изменений 74 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.2.22.$ Какое количество теплоты выделится в водоеме при всплывании в нем воздушного пузыря радиуса $R = 0{,}1~\text{м}$ с глубины $H = 10~\text{м}$? | $4.2.22.$ Какое количество теплоты выделится в водоеме при всплывании в нем воздушного пузыря радиуса $R = 0{,}1~\text{м}$ с глубины $H = 10~\text{м}$? | ||
|  |  | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Рассмотрим систему водоем и пузырь. Считаем, что в конечном состоянии движения в системе нет. | Рассмотрим систему водоем и пузырь. Считаем, что в конечном состоянии движения в системе нет. | ||
| Тогда в тепло $Q$ перешло изменение потенциальной энергии $\Delta \Pi$. | Тогда в тепло $Q$ перешло изменение потенциальной энергии $\Delta \Pi$. | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -15,7 +15,13 @@Решение | |||
| Q=\Delta\Pi. | Q=\Delta\Pi. | ||
| $$ | $$ | ||
| В процессе подъема пузырь будет менять форму. Но величину $\Delta \Pi$ можно вычислить просто. Она складывается из | |||
| - изменения потенциальной энергии $\Delta \Pi_\text{п}$ массы воздуха пузыря, которая поднимается на высоту $H$ | |||
| - и изменения потенциальной энергии $\Delta \Pi_\text{вп}$ массы тонкого приповерхностного слоя водоема, который как бы сливается в первоначальное место пузыря на глубине $H$. | |||
| Другие же части водоема как бы остаются при своих потенциальных энергиях [1]. | |||
| Тогда | Тогда | ||
| $$ | $$ | ||
| \Delta\Pi=\left|\Delta\Pi_\text{п}+\Delta\Pi_\text{вп}\right|. | \Delta\Pi=\left|\Delta\Pi_\text{п}+\Delta\Pi_\text{вп}\right|. | ||
| $$ | $$ | ||
| Слагаемые правой части распишем: | Слагаемые правой части распишем: | ||
| $$ | $$ | ||
| \Delta\Pi_\text{п}=\frac{4}{3}\pi R^3\rho_\text{п} gH\quad \text{и}\quad \Delta\Pi_\text{вп}=-\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, | \Delta\Pi_\text{п}=\frac{4}{3}\pi R^3\rho_\text{п} gH\quad \text{и}\quad \Delta\Pi_\text{вп}=-\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $\rho_\text{п}$ есть плотность воздуха в пузыре, $\rho$ есть плотность воды. | где $\rho_\text{п}$ есть плотность воздуха в пузыре, $\rho$ есть плотность воды. | ||
| Так как $\rho_\text{п}\ll \rho$, то | Так как $\rho_\text{п}\ll \rho$, то | ||
| $$ | $$ | ||
| \Delta \Pi=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, | \Delta \Pi=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, | ||
| $$ | $$ | ||
| значит, | значит, | ||
| $$ | $$ | ||
| Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH. | Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH. | ||
| $$ | $$ | ||
| Примечание: можно показать, что сразу после всплытия кинетическая энергия движения системы составляет малую часть от изменения ее потенциальной энергии [2] (см. про присоединенную массу). | Примечание: можно показать, что сразу после всплытия кинетическая энергия движения системы составляет малую часть от изменения ее потенциальной энергии [2] (см. про присоединенную массу). | ||
| #### Литература | #### Литература | ||
| [1] Г. Коткин. Всплывающий пузырёк и закон Архимеда. «Квант», 1976, № 1. | [1] Г. Коткин. Всплывающий пузырёк и закон Архимеда. «Квант», 1976, № 1. | ||
| [2] Задача Ф2623. Задачник «Кванта». «Квант», 2020, № 11-12. | [2] Задача Ф2623. Задачник «Кванта». «Квант», 2020, № 11-12. | ||
| ### Альтернативное решение | ### Альтернативное решение | ||
| Буду считать процесс всплытия пузыря изотермическим процессом. Пусть $P_{0}$ - давление на поверхности водоёма. Во время всплытия объём пузыря увеличивается, поскольку давление падает, поэтому радиус пузыря есть функция глубины погружения $r=r(h)$. Запишем закон Бойля-Мариотта для двух состояний: на глубине $H$ и $h$ | Буду считать процесс всплытия пузыря изотермическим процессом. Пусть $P_{0}$ - давление на поверхности водоёма. Во время всплытия объём пузыря увеличивается, поскольку давление падает, поэтому радиус пузыря есть функция глубины погружения $r=r(h)$. Запишем закон Бойля-Мариотта для двух состояний: на глубине $H$ и $h$ | ||
| $$(P_{0}+\rho gH)\frac{4}{3}\pi R^{3}=(P_{0}+\rho gh)\frac{4}{3}\pi r^{3}(h) \tag{1}$$ | $$(P_{0}+\rho gH)\frac{4}{3}\pi R^{3}=(P_{0}+\rho gh)\frac{4}{3}\pi r^{3}(h) \tag{1}$$ | ||
| $$r^{3}(h)=\frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}+\rho gh}\cdot R^{3} \tag{2}$$ | $$r^{3}(h)=\frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}+\rho gh}\cdot R^{3} \tag{2}$$ | ||
| Элементарная работа силы Архимеда по перемещению объёма пузыря на малую высоту $dh$: | Элементарная работа силы Архимеда по перемещению объёма пузыря на малую высоту $dh$: | ||
| $$dA=\frac{4}{3}\pi r^{3}(h)\cdot \rho g\cdot dh=\frac{4}{3}\pi\rho g\cdot \frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}+\rho gh}\cdot R^{3}\cdot dh \tag{3}$$ | $$dA=\frac{4}{3}\pi r^{3}(h)\cdot \rho g\cdot dh=\frac{4}{3}\pi\rho g\cdot \frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}+\rho gh}\cdot R^{3}\cdot dh \tag{3}$$ | ||
| Полная работа найдётся путём интегрирования по всей глубине: | Полная работа найдётся путём интегрирования по всей глубине: | ||
| $$A=\frac{4}{3}\pi\rho g(P_{0}+\rho gH)R^{3}\cdot \int_{0}^{H}\frac{dh}{P_{0}+\rho gh} \tag{4}$$ | $$A=\frac{4}{3}\pi\rho g(P_{0}+\rho gH)R^{3}\cdot \int_{0}^{H}\frac{dh}{P_{0}+\rho gh} \tag{4}$$ | ||
| $$A=\frac{4}{3}\pi R^{3}(P_{0}+\rho gH)\cdot \ln\frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\cdot\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right) \tag{5}$$ | $$A=\frac{4}{3}\pi R^{3}(P_{0}+\rho gH)\cdot \ln\frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\cdot\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right) \tag{5}$$ | ||
| Эта работа будет равна выделенной теплоте: | Эта работа будет равна выделенной теплоте: | ||
| $$Q=A=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\cdot\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right) \tag{6}$$ | $$Q=A=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\cdot\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right) \tag{6}$$ | ||
| Теперь предположим, что $\frac{\rho gH}{P_{0}}\ll 1$, тогда | Теперь предположим, что $\frac{\rho gH}{P_{0}}\ll 1$, тогда | ||
| $$\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\approx \frac{\rho gH}{P_{0}}$$ | $$\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\approx \frac{\rho gH}{P_{0}}$$ | ||
| и | и | ||
| $$\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\approx 1$$ | $$\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\approx 1$$ | ||
| Тогда выражение (6) преобразуется: | Тогда выражение (6) преобразуется: | ||
| $$Q=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\cdot\frac{\rho gH}{P_{0}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho gH$$ | $$Q=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\cdot\frac{\rho gH}{P_{0}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho gH$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, | Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, | ||
| $$ | $$ | ||
| где $\rho$ есть плотность воды. | где $\rho$ есть плотность воды. | ||
| ещё строк без изменений 74 | |||