| - и изменения потенциальной энергии $\Delta \Pi_\text{вп}$ массы тонкого приповерхностного слоя водоема, который как бы сливается в первоначальное место пузыря на глубине $H$. | | - и изменения потенциальной энергии $\Delta \Pi_\text{вп}$ массы тонкого приповерхностного слоя водоема, который как бы сливается в первоначальное место пузыря на глубине $H$. |
| | | |
| Другие же части водоема как бы остаются при своих потенциальных энергиях [1]. | | Другие же части водоема как бы остаются при своих потенциальных энергиях [1]. |
| | | |
| Тогда | | Тогда |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \Delta\Pi=\left|\Delta\Pi_\text{п}+\Delta\Pi_\text{вп}\right|. | | \Delta\Pi=\left|\Delta\Pi_\text{п}+\Delta\Pi_\text{вп}\right|. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Слагаемые правой части распишем: | | Слагаемые правой части распишем: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \Delta\Pi_\text{п}=\frac{4}{3}\pi R^3\rho_\text{п} gH\quad \text{и}\quad \Delta\Pi_\text{вп}=-\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, | | \Delta\Pi_\text{п}=\frac{4}{3}\pi R^3\rho_\text{п} gH\quad \text{и}\quad \Delta\Pi_\text{вп}=-\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\rho_\text{п}$ есть плотность воздуха в пузыре, $\rho$ есть плотность воды. | | где $\rho_\text{п}$ есть плотность воздуха в пузыре, $\rho$ есть плотность воды. |
| | | |
| Так как $\rho_\text{п}\ll \rho$, то | | Так как $\rho_\text{п}\ll \rho$, то |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \Delta \Pi=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, | | \Delta \Pi=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| значит, | | значит, |
| | | |
| $$ | | $$ |
| Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH. | | Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Примечание: можно показать, что сразу после всплытия кинетическая энергия движения системы составляет малую часть от изменения ее потенциальной энергии [2] (см. про присоединенную массу). | | Примечание: можно показать, что сразу после всплытия кинетическая энергия движения системы составляет малую часть от изменения ее потенциальной энергии [2] (см. про присоединенную массу). |
| | | |
| | | |
| #### Литература | | #### Литература |
| | | |
| [1] Г. Коткин. Всплывающий пузырёк и закон Архимеда. «Квант», 1976, № 1. | | [1] Г. Коткин. Всплывающий пузырёк и закон Архимеда. «Квант», 1976, № 1. |
| | | |
| [2] Задача Ф2623. Задачник «Кванта». «Квант», 2020, № 11-12. | | [2] Задача Ф2623. Задачник «Кванта». «Квант», 2020, № 11-12. |
| | | |
| ### Альтернативное решение | | ### Альтернативное решение |
| | | |
| Буду считать процесс всплытия пузыря изотермическим процессом. Пусть $P_{0}$ - давление на поверхности водоёма. Во время всплытия объём пузыря увеличивается, поскольку давление падает, поэтому радиус пузыря есть функция глубины погружения $r=r(h)$. Запишем закон Бойля-Мариотта для двух состояний: на глубине $H$ и $h$ | | Буду считать процесс всплытия пузыря изотермическим процессом. Пусть $P_{0}$ - давление на поверхности водоёма. Во время всплытия объём пузыря увеличивается, поскольку давление падает, поэтому радиус пузыря есть функция глубины погружения $r=r(h)$. Запишем закон Бойля-Мариотта для двух состояний: на глубине $H$ и $h$ |
| | | |
| $$(P_{0}+\rho gH)\frac{4}{3}\pi R^{3}=(P_{0}+\rho gh)\frac{4}{3}\pi r^{3}(h) \tag{1}$$ | | $$(P_{0}+\rho gH)\frac{4}{3}\pi R^{3}=(P_{0}+\rho gh)\frac{4}{3}\pi r^{3}(h) \tag{1}$$ |
| $$r^{3}(h)=\frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}+\rho gh}\cdot R^{3} \tag{2}$$ | | $$r^{3}(h)=\frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}+\rho gh}\cdot R^{3} \tag{2}$$ |
| | | |
| Элементарная работа силы Архимеда по перемещению объёма пузыря на малую высоту $dh$: | | Элементарная работа силы Архимеда по перемещению объёма пузыря на малую высоту $dh$: |
| | | |
| $$dA=\frac{4}{3}\pi r^{3}(h)\cdot \rho g\cdot dh=\frac{4}{3}\pi\rho g\cdot \frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}+\rho gh}\cdot R^{3}\cdot dh \tag{3}$$ | | $$dA=\frac{4}{3}\pi r^{3}(h)\cdot \rho g\cdot dh=\frac{4}{3}\pi\rho g\cdot \frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}+\rho gh}\cdot R^{3}\cdot dh \tag{3}$$ |
| | | |
| Полная работа найдётся путём интегрирования по всей глубине: | | Полная работа найдётся путём интегрирования по всей глубине: |
| | | |
| $$A=\frac{4}{3}\pi\rho g(P_{0}+\rho gH)R^{3}\cdot \int_{0}^{H}\frac{dh}{P_{0}+\rho gh} \tag{4}$$ | | $$A=\frac{4}{3}\pi\rho g(P_{0}+\rho gH)R^{3}\cdot \int_{0}^{H}\frac{dh}{P_{0}+\rho gh} \tag{4}$$ |
| | | |
| $$A=\frac{4}{3}\pi R^{3}(P_{0}+\rho gH)\cdot \ln\frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\cdot\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right) \tag{5}$$ | | $$A=\frac{4}{3}\pi R^{3}(P_{0}+\rho gH)\cdot \ln\frac{P_{0}+\rho gH}{P_{0}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\cdot\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right) \tag{5}$$ |
| | | |
| Эта работа будет равна выделенной теплоте: | | Эта работа будет равна выделенной теплоте: |
| | | |
| $$Q=A=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\cdot\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right) \tag{6}$$ | | $$Q=A=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\cdot\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right) \tag{6}$$ |
| | | |
| Теперь предположим, что $\frac{\rho gH}{P_{0}}\ll 1$, тогда | | Теперь предположим, что $\frac{\rho gH}{P_{0}}\ll 1$, тогда |
| | | |
| $$\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\approx \frac{\rho gH}{P_{0}}$$ | | $$\ln\left(1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\approx \frac{\rho gH}{P_{0}}$$ |
| | | |
| и | | и |
| | | |
| $$\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\approx 1$$ | | $$\left( 1+\frac{\rho gH}{P_{0}} \right)\approx 1$$ |
| | | |
| Тогда выражение (6) преобразуется: | | Тогда выражение (6) преобразуется: |
| | | |
| $$Q=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\cdot\frac{\rho gH}{P_{0}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho gH$$ | | $$Q=\frac{4}{3}\pi R^{3}P_{0}\cdot\frac{\rho gH}{P_{0}}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho gH$$ |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, | | Q=\frac{4}{3}\pi R^3\rho gH, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $\rho$ есть плотность воды. | | где $\rho$ есть плотность воды. |
