Решение задач из Савченко О.Я.

Условие:

\$2.1.45^*.\$ На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты.

---

Решение:

Проектируем $m\vec{g}$ на $OY$:

Из рисунка, найдем силу реакции опоры:

$N=mg\\,cos\\,\alpha$

По Закону Амонтона — Кулона: $F_{тр}=\mu N=\mu mg\\,cos\\,\alpha$

Т.к. $\mu = tg\\,\alpha$ (по условию):

$F_{тр}=\mu mg\\,cos\\,\alpha$$=mg \cdot tg\\,\alpha \cdot cos\\,\alpha=mg\\,sin\\,\alpha$

$F=mg\\,sin\\,\alpha$

Перерисуем в плоскости $XY$

В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$:

В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$:

Рассмотрим, произвольный момент:

              <div class="solutions">
                 <p class="TxtSolutions">   
                    Заметим, что $\varphi$ меняется от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$:<br><br>
                    Запишем второй закон Ньютона:<br><br>
                    <center>
                    $\left\{\begin{matrix}

\frac{du_x}{dt} = \frac{F \, sin \, \varphi }{m}& \
\frac{du_y}{dt} = \frac{F (1-\, cos \, \varphi) }{m} &
\end{matrix}\right.$

                    $\left\{\begin{matrix}

\frac{d}{dt} (u \, sin\,\varphi)= \frac{F \, sin \, \varphi }{m}& \
\frac{d}{dt} (u \, cos\,\varphi) = \frac{F (1-\, cos \, \varphi) }{m} &
\end{matrix}\right.$

Решаем систему дифференциальных уравнений:

$\left\{\begin{matrix} \frac{d\varphi}{dt} = \frac{F \\, sin \\, \varphi }{mu}& (a)\\ \frac{du}{dt} = \frac{F (1-\\, cos \\, \varphi) }{m} & (b) \end{matrix}\right.$

Разделим $(b)$ на $(a)$: $\frac{du}{d\varphi} = u\frac{1-\\, cos \\, \varphi}{sin \\, \varphi}$

$\frac{du}{u} = \frac{1-\\, cos \\, \varphi}{sin \\, \varphi} d\varphi$

$\frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2}) \\, d\varphi$

Интегрируем обе части уравнения: $\int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2}) \\, d\varphi \\; (c)$

$\int\frac{du}{u}=ln|u| \\; (d)$

$\int tg (\frac{\varphi}{2}) \\, d\varphi=-2 ln(cos(\frac{x}{2})) \\; (e)$

Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$: $ln(v)+C=ln(sin(\varphi))$$-(ln(sin(\frac{\varphi}{2})-cos(\frac{\varphi}{2})))\\; (e)$

$v_x=\frac{v}{2}$

              <h3> Ответ: $\frac{v}{2}$</h3>
           </div>
        </div>
     </div>
     <a href="#" class="back-to-top affix"> ↑ наверх </a>
  </div>
  </div>
  <footer class="row container">
     <div class="col col-lg-3">
        <div class="footer-left">
           <p>
              <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; 2023-2024 <br>
              </small>
           </p>
        </div>
     </div>
     <div class="col col-lg-6">
        <div class="footer-middle">
           <p>
              <small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br>
              <i>E = mc <sup>2</sup>
              </i>. </small>
           </p>
        </div>
     </div>
     <div class="col col-lg-3">
        <div class="footer-right">
           <div class="pull-right"></div>
        </div>
     </div>
  </footer>
  <script type="text/javascript" src="/js/bootstrap-affix.js"></script>
  <script type="text/javascript">
     $(function() {
       setTimeout(function() {
         $('.back-to-top').affix();
       }, 100);
     });
  </script>