Savchenko Solutions

Solutions of Savchenko Problems in Physics
knowledge must be free

    <h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.1.45^*.$ На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монета. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость $v$. Найдите установившуюся скорость монеты.
   </p>

  <h3> Решение: </h3>
    <center>
      <figure>
        <img src="sol.jpg"
          loading="lazy" width="250" />
        <figcaption>
           Силы действующие на тело
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
    <p>
        Проектируем $m\vec{g}$ на $OY$:
     </p>
     <br>
    <center>
      <figure>
        <img src="sol1.jpg"
          loading="lazy" width="250" />
        <figcaption>
           Проетируем на $OY$
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
    <p>
        Из рисунка, найдем силу реакции опоры:
        $$N=mg \cos \alpha$$
        По Закону Амонтона — Кулона:
        $$F_{тр}=\mu N=\mu mg \cos \alpha$$
        Т.к. $\mu = tg \alpha$ (по условию):
        $$F_{тр}=\mu mg \cos \alpha$$
        $$F_{тр}=mg \cdot tg \alpha \cdot \cos \alpha=mg \sin \alpha$$
        $$F=mg \sin \alpha$$
        Перерисуем в плоскости $XY$
        В начальный момент $(\varphi=90^{\circ})$:
     </p>
     <br>
    <center>
      <figure>
        <img src="sol3.jpg"
          loading="lazy" width="250" />
        <figcaption>
           Рисунок в плоскости $xOy$
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
    <p>
        В конечный момент $(\varphi=0^{\circ})$:
     </p>
     <br>
    <center>
      <figure>
        <img src="sol4.jpg"
          loading="lazy" width="250" />
        <figcaption>
           Силы действующие на тело в конечный момент
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
    <p>
        Рассмотрим, произвольный момент:
     </p>
     <br>
    <center>
      <figure>
        <img src="sol2.jpg"
          loading="lazy" width="250" />
        <figcaption>
           Силы действующие на тело в произвольный момент
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
    <p>
       Заметим, что $\varphi$ меняется от $0^{\circ}$ до $90^{\circ}$:
    </p>
    <p>
     Запишем второй закон Ньютона:
     $$\left\{\begin{matrix}
     \frac{du_x}{dt} = \frac{F   \sin   \varphi }{m}& \\ 
     \frac{du_y}{dt} = \frac{F (1-  \cos   \varphi) }{m} & 
     \end{matrix}\right.$$

     $$\left\{\begin{matrix}
     \frac{d}{dt} (u   \sin \varphi)= \frac{F   \sin   \varphi }{m}& \\ 
     \frac{d}{dt} (u   \cos \varphi) = \frac{F (1-  \cos   \varphi) }{m} & 
     \end{matrix}\right.$$
     Решаем систему дифференциальных уравнений:
     $$\left\{\begin{matrix}
     \frac{d\varphi}{dt} = \frac{F   \sin   \varphi }{mu}& (a)\\ 
     \frac{du}{dt} = \frac{F (1-  \cos   \varphi) }{m} & (b) 
     \end{matrix}\right.$$
     Разделим $(b)$ на $(a)$:
     $$\frac{du}{d\varphi} = u\frac{1-  \cos   \varphi}{\sin   \varphi}$$
     $$\frac{du}{u} = \frac{1-  \cos   \varphi}{\sin   \varphi} d\varphi$$
     $$\frac{du}{u} = tg (\frac{\varphi}{2})   d\varphi$$
     Интегрируем обе части уравнения:
     <!-- $\int_{v_0}^{v}\frac{du}{u} = \int_{90^{\circ}}^{0^{\circ}}tg (\frac{\varphi}{2})   d\varphi \\; (c)$ -->
     $$\int \frac{du}{u} = \int tg (\frac{\varphi}{2})   d\varphi \\; (c)$$
     $$\int\frac{du}{u}=ln|u| \\; (d)$$
     $$\int tg (\frac{\varphi}{2})   d\varphi=-2 ln(\cos(\frac{x}{2})) \\; (e)$$
     Подставляем $(e)$ и $(d)$ в $(c)$:
     <div class="scroll-wrapper">
     $$ln(v)+C=ln(\sin(\varphi)) -(ln(\sin(\frac{\varphi}{2})-\cos(\frac{\varphi}{2})))\\; (e)$$
     </div>
     $$v_x=\frac{v}{2}$$
    </p>
     <h3> Ответ: </h3>
     <p>
        $$\frac{v}{2}$$
     </p>



<footer class="row container">
    <br>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
    </p>
</footer>