Решение задач из Савченко О.Я.

Условие:

Решение:

              <div class="solutions">
                 <p class="TxtSolutions">   
                  Рассмотрим малое смещение за время $dt$ с точки зрения кинематики:
                 </p>
              </div>

              <center>
                 <div class="StatementDiv">
                    <img class="Statement" src="sol1.jpg" style="max-width: 100%;">
                 </div>
              </center>

              <div class="solutions">
                 <p class="TxtSolutions">   
                  Из геометрических соображений:<br><br>
                  <center>
                      $dy = dx \cdot ctg\\,\beta$<br><br>
                  </center>
                  Продеффиринцируем дважды обе части выражения:<br><br>
                  <center>
                      $\frac{dy}{d^2t} = \frac{dx}{d^2t} \cdot ctg\\,\beta$<br><br>
                      $a_1 = a_2 \cdot tg\\,\beta\\;(1)$<br><br><br>
                  </center>
                  Т.к. Автор не сказал ничего про трение, пример $F_{тр}=0$<br><br>
                  Далее, запишем 2 закон Ньютона для бруска $m_1$ на ось $OY$:<br><br>
                  <center>
                      $m_1a_1=N_1\\,cos\\,\beta$<br><br>
                      $N_1=\frac{m_1a_1}{cos\\,\beta}\\;(a)$<br><br>
                  </center>
                  Аналогично для $m_2$:<br><br>
                  <center>
                      $m_2a_2=m_2g-2N_1\\,sin\\,\beta\\;(b)$<br><br>
                  </center>
                  Подставляем $(a)$ в $(b)$:<br><br>
                  <center>
                      $m_2a_2=m_2g-2m_1a_1\cdot tg\\,\beta$<br><br>
                  </center>
                  Подставляем $(1)$ в $(c)$:<br><br>
                  <center>
                      $m_2a_2=m_2g-2m_1a_2\cdot tg^2\\,\beta$<br><br>
                  </center>
                  Выражаем $a_2$:<br><br>
                  <center>
                      $a_2=\frac{m_2g}{m_2+2m_1\\,tg^2\\,\beta}\\;(d)$<br><br>
                  </center>
                  Учитывая $(1)$, домнажаем $(d)$ на $tg\\,\beta$:<br><br>
                  <center>
                      $a_1=\frac{m_2g\\,tg\\,\beta}{m_2+2m_1\\,tg^2\\,\beta}$<br><br>
                  </center>

                  <hr><br>
                  Примечание. Попробуйте объяснить парадокс:<br><br>
                  Опишем движение центра масс системы на ось $OY$:<br><br>

                  <center>
                    $(2m_1+m_2)a_y$$=2m_1\vec{g}+m_2\vec{g}+2\vec{N}$$+2\vec{N_1}-2\vec{N_1}+\vec{F_{тр}}-\vec{F_{тр}}$<br><br>
                  </center>
                  Т.к. $\vec{N_1}$ и $\vec{F_{тр}}$ — внутренние силы и компенсируют друг друга, a $\vec{N}$ компенсируют $m_1\vec{g}$<br><br>
                  <center>
                    $(2m_1+m_2)a_y=m_2g$<br><br>
                    $a_y=g\frac{m_2}{2m_1+m_2}$<br><br>
                  </center>
                  Т.к. грузы массой $m_1$ лежат на поверхности $(y=const)$<br><br>
                  <center>
                    $a_2=a_y=g\frac{m_2}{2m_1+m_2}\\;(2)$<br><br>
                  </center>
                  Подставляем $(2)$ в $(1)$:<br><br>
                  <center>
                  $a_1 = a_2 \cdot tg\\,\beta$<br><br>
                    $a_2=g\frac{m_2 \\,tg\\,\beta}{2m_1+m_2}$<br><br>
                  </center>
                  Что не является ответом!<br><br>

                 </p>
              </div>

              <h3>
                 Ответ: $a_1=\frac{m_2g\\,tg\\,\beta}{m_2+2m_1\\,tg^2\\,\beta};$ $a_2=\frac{m_2g}{m_2+2m_1\\,tg^2\\,\beta}$
              </h3>
           </div>
        </div>
     </div>
     <a href="#" class="back-to-top affix"> ↑ наверх </a>
  </div>
  </div>
  <footer class="row container">
     <div class="col col-lg-3">
        <div class="footer-left">
           <p>
              <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, &nbsp;&nbsp;&nbsp; 2023-2024 <br>
              </small>
           </p>
        </div>
     </div>
     <div class="col col-lg-6">
        <div class="footer-middle">
           <p>
              <small> Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br>
              <i>E = mc <sup>2</sup>
              </i>. </small>
           </p>
        </div>
     </div>
     <div class="col col-lg-3">
        <div class="footer-right">
           <div class="pull-right"></div>
        </div>
     </div>
  </footer>
  <script type="text/javascript" src="/js/bootstrap-affix.js"></script>
  <script type="text/javascript">
     $(function() {
       setTimeout(function() {
         $('.back-to-top').affix();
       }, 100);
     });
  </script>