<h3 id="back-link"><a href="/">$\leftarrow$Назад</a></h3>

    <h3> Условие: </h3>

    <p>     
     $2.1.51.$ На два катка разного радиуса положили тяжелую плиту. Она образует угол $α$ с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет. Массой катков пренебречь.
   </p>
    <center>
      <figure>
        <img src="statement.png"
          loading="lazy" width="230" />
        <figcaption>
        	К задаче 2.1.51
        </figcaption>
      </figure>
    </center>

  <h3> Решение: </h3>
    <center>
      <figure>
        <img src="draw.png"
          loading="lazy" width="280" />
        <figcaption>
           Силы действующие на систему тел
        </figcaption>
      </figure>
    </center>
	<p>
  <p>
  	Движение плиты сложное, состоит из горизонтального (за счет движения катков) и под углом к горизонту, и является поступательным. Расставим силы.</p>
  	<p>Векторы синим цветом - это силы, действующие на каток ($N_1$ - сила со стороны плиты на каток она равна и противоположно направлена силе со стороны катка на плиту, $F_{тр}$ - сила трения, действующая на каток (под ее действием происходит вращение катка), и сила реакции опоры $R$ в точке $P$). </p>
  	<p>Аналогичные силы действуют на каток меньшего радиуса. Векторы красного цвета обозначают силы, действующие на плиту ($N$ - суммарная сила реакций опор, $mg$ - сила тяжести, $F_{тр}$ - сила трения со стороны катков на плиту). </p>
  	<p>Выберем ось $Ox$ по направлению скорости движения плиты. Сама же скорость это мгновенная скорость точки касания плиты и катка, а точка $P$ - мгновенный центр скоростей, причем $v$ перпендикулярна $PC$ (мгновенный радиус вращения). Запишем в проекциях на ось $Ox$ уравнение движения плиты
	</p>
     $$ma = mg \sin a/2 + N \sin \alpha/2 - F_{тр} \cos \alpha/2\\; (1)$$

     В этом уравнении три неизвестных. Необходимо составить еще уравнения. 
  </p>
  <p>
     Запишем уравнение вращательного движения для катка. Это уравнение имеет вид 
     $$I \varepsilon = \Sigma M$$ 
     произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на тело. 
     Найдем плечи сил, действующих на каток $PC$
     $$2r \cos \frac{\alpha}{2}$$ 
     Плечо силы трения равно 
     $$2r \cos^2 \frac{\alpha}{2}$$
     а плечо силы $N$ равно 
     $$2r\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \alpha/2$$ 
     Плечо силы $R$ равно нулю. 
  </p>
  <p>
     Запишем уравнение вращательного движения для катка (т.к. масса катка по условию задачи равна нулю, то и $I = 0$):
     $$0 = - F_{тр} 2r \cos ^2 \frac{\alpha}{2} + N r \sin \alpha \\; (2)$$
     Откуда 
     $$F_{тр}= N \tan \frac{\alpha}{2}$$ 
     подставляя это значение в уравнение движения $(1)$, получим 
     $$ma = mg \sin \frac{\alpha}{2}$$ 
     т.е. искомое ускорение равно 
     $$\boxed{a = g \sin \alpha/2}$$ 
  </p>

     <h3> Ответ: </h3>
     <p>
        $$a = g \sin(α/2)$$
     </p>


	<h3> Альтернативное решение: </h3>

   <div class="video-container">
      <iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/7qv1yfpcA1k" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
  	</div>



<footer class="row container">
    <br>

    <p>
        <small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
    </p>
    <p>
        <small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> astrosander01@gmail.com <br></small>
    </p>
</footer>