Решебник Савченко
<h3 id="back-link"><a href="/ru#2.1">$\leftarrow$Назад</a></h3>
<h3> Условие: </h3>
<p>
$2.1.51.$ На два катка разного радиуса положили тяжелую плиту. Она образует угол $α$ с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет. Массой катков пренебречь.
</p>
<center>
<figure>
<img src="statement.png"
loading="lazy" width="230" />
<figcaption>
К задаче 2.1.51
</figcaption>
</figure>
</center>
<h3> Решение: </h3>
<center>
<figure>
<img src="draw.png"
loading="lazy" width="280" />
<figcaption>
Силы действующие на систему тел
</figcaption>
</figure>
</center>
<p>
<p>
Движение плиты сложное, состоит из горизонтального (за счет движения катков) и под углом к горизонту, и является поступательным. Расставим силы.</p>
<p>Векторы синим цветом - это силы, действующие на каток ($N_1$ - сила со стороны плиты на каток она равна и противоположно направлена силе со стороны катка на плиту, $F_{тр}$ - сила трения, действующая на каток (под ее действием происходит вращение катка), и сила реакции опоры $R$ в точке $P$). </p>
<p>Аналогичные силы действуют на каток меньшего радиуса. Векторы красного цвета обозначают силы, действующие на плиту ($N$ - суммарная сила реакций опор, $mg$ - сила тяжести, $F_{тр}$ - сила трения со стороны катков на плиту). </p>
<p>Выберем ось $Ox$ по направлению скорости движения плиты. Сама же скорость это мгновенная скорость точки касания плиты и катка, а точка $P$ - мгновенный центр скоростей, причем $v$ перпендикулярна $PC$ (мгновенный радиус вращения). Запишем в проекциях на ось $Ox$ уравнение движения плиты
</p>
$$ma = mg \sin a/2 + N \sin \alpha/2 - F_{тр} \cos \alpha/2\\; (1)$$
В этом уравнении три неизвестных. Необходимо составить еще уравнения.
</p>
<p>
Запишем уравнение вращательного движения для катка. Это уравнение имеет вид
$$I \varepsilon = \Sigma M$$
произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сумме моментов сил, действующих на тело.
Найдем плечи сил, действующих на каток $PC$
$$2r \cos \frac{\alpha}{2}$$
Плечо силы трения равно
$$2r \cos^2 \frac{\alpha}{2}$$
а плечо силы $N$ равно
$$2r\cos \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \alpha/2$$
Плечо силы $R$ равно нулю.
</p>
<p>
Запишем уравнение вращательного движения для катка (т.к. масса катка по условию задачи равна нулю, то и $I = 0$):
$$0 = - F_{тр} 2r \cos ^2 \frac{\alpha}{2} + N r \sin \alpha \\; (2)$$
Откуда
$$F_{тр}= N \tan \frac{\alpha}{2}$$
подставляя это значение в уравнение движения $(1)$, получим
$$ma = mg \sin \frac{\alpha}{2}$$
т.е. искомое ускорение равно
$$\boxed{a = g \sin \alpha/2}$$
</p>
<h3> Ответ: </h3>
<p>
$$a = g \sin(α/2)$$
</p>
<h3> Альтернативное решение: </h3>
<div class="video-container">
<iframe class="video" src="https://www.youtube.com/embed/7qv1yfpcA1k" frameborder="0" allowfullscreen></iframe>
</div>
<footer class="row container">
<br>
<p>
<small> © <strong>Решебник Савченко О.Я.</strong>, 2023-2024 <br></small>
</p>
<p>
<small>Все права принадлежат авторам. <br> Коммерческое использование материалов — с письменного разрешения авторов. <br> alex@savchenkosolutions.com <br></small>
</p>
</footer>
Savchenko Solutions