Правка разделов «Условие», «Цепь б»

igor правка от 16 мар. 2026 г., 06:48

правка #17705 предыдущая #17704 ← раньше

ru/11.4.17.md +2 −2

		@@ -1,6 +1,6 @@
			### Условие

		−	$11.4.17.$ Найдите установившиеся токи в электрических цепях, изображенных на рисунке. Внутреннее сопротивление источников напряжения равно нулю. Определите среднюю мощность, выделяющуюся в цепях, если $E_0 = 200~\text{В}$, $R = 100~\text{Ом}$, $C = $10$^{−4}~\text{Ф}$, $L = 1~\text{Гн}$. Частота напряжения источника $\nu = \omega/2\pi = 50~\text{ц}$.
		+	$11.4.17.$ Найдите установившиеся токи в электрических цепях, изображенных на рисунке. Внутреннее сопротивление источников напряжения равно нулю. Определите среднюю мощность, выделяющуюся в цепях, если $\mathscr E_0 = 200~\text{В}$, $R = 100~\text{Ом}$, $C = $10$^{−4}~\text{Ф}$, $L = 1~\text{Гн}$. Частота напряжения источника $\nu = \omega/2\pi = 50~\text{ц}$.

			![К задаче $11.4.17$\|1774x429, 100%](../../img/11.4.17/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-16 082119.png)


			### Решение


			#### Цепь а

			Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:

			\begin{gather*}
			I_L+I_1=I_R,\tag{1}\\\\
			L\frac{dI_L}{dt}=0,\tag{2}\\\\
			I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3}
			\end{gather*}

			где $I_L$ есть ток в катушке, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнение $(1)$ записано для, например, верхнего узла цепи, уравнение $(2)$ — для левого контура цепи, $(3)$ — для правого контура.)

			Из $(3)$:

			$$
			I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t.
			$$

			Из $(2)$:

			$$
			I_L=B
			$$

			где $B$ есть константа интегрирования. Эта константа определяется начальными условиями. В момент образования цепи ток в катушке обозначим $I_{L0}$, тогда $B=I_{L0}$ [1]. Значит:

			$$
			I_L=I_{L0}.
			$$

			Из $(1)$:

			$$
			I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0}.
			$$

			Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений [1]:

			$$
			P=\bar{I}^2_{\\!R}R,
			$$

			где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.

			Тогда

			$$
			P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.
			$$


			#### Цепь б

			Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:

			\begin{gather*}
			I_C+I_1=I_R,\tag{1}\\\\
			U_C=\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t,\tag{2}\\\\
			I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3}
			\end{gather*}

			где $I_C$ есть ток в конденсаторе, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнения записаны тем же способом, как и в пункте а; заряд левой обкладки конденсатора считается положительным [1])

			Из $(3)$:

			$$
			I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t.
			$$

			Ток через емкость

			$$
			I_C=\dot{q}_C.
			$$

			где $q_C$ есть заряд конденсатора.

		@@ -88,7 +88,7 @@Цепь б
			Тогда с учетом $(2)$:

			$$
		−	I_C=\frac{d}{dt}\Big(C~~\left~~(\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t~~\right~~)\Big);
		+	I_C=\frac{d}{dt}\Big(C\big(\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t\big)\Big);
			$$

			после дифференцирования

			$$
			I_C=-\mathscr E_0\omega C\left(\sin\omega t+\cos\omega t\right).
			$$

			Из $(1)$:

			$$
			I_1=\mathscr E_0\left(\frac{1}{R}+\omega C\right)\sin\omega t+\mathscr E_0\omega C\cos\omega t.
			$$

			Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений:

			$$
			P=\bar{I}^2_{\\!R}R,
			$$

			где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.

			Тогда

			$$
			P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.
			$$


			#### Литература

			[1] В. В. Можаев. Катушки индуктивности в электрических цепях. «Квант», 2005, №4.

			[2] И. В. Яковлев. Физика. МЦНМО. 2021.


			#### Ответ

			а.

			\begin{gather*}
			I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t,\\\\
			I_L=I_{L0},\\\\
			I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0},\\\\
			P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.
			\end{gather*}

			где $I_{L0}$ есть ток в катушке в момент образования цепи; $I_1$ есть ток в средней ветви.

			б.

			\begin{gather*}
			I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t,\\\\
			I_C=-\mathscr E_0\omega C\left(\sin\omega t+\cos\omega t\right),\\\\
			I_1=\mathscr E_0\left(\frac{1}{R}+\omega C\right)\sin\omega t+\mathscr E_0\omega C\cos\omega t,\\\\
			P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.
			\end{gather*}
		ещё строк без изменений 54

	@@ -1,6 +1,6 @@
	### Условие		### Условие

	$11.4.17.$ Найдите установившиеся токи в электрических цепях, изображенных на рисунке. Внутреннее сопротивление источников напряжения равно нулю. Определите среднюю мощность, выделяющуюся в цепях, если $E_0 = 200~\text{В}$, $R = 100~\text{Ом}$, $C = $10$^{−4}~\text{Ф}$, $L = 1~\text{Гн}$. Частота напряжения источника $\nu = \omega/2\pi = 50~\text{ц}$.		$11.4.17.$ Найдите установившиеся токи в электрических цепях, изображенных на рисунке. Внутреннее сопротивление источников напряжения равно нулю. Определите среднюю мощность, выделяющуюся в цепях, если $\mathscr E_0 = 200~\text{В}$, $R = 100~\text{Ом}$, $C = $10$^{−4}~\text{Ф}$, $L = 1~\text{Гн}$. Частота напряжения источника $\nu = \omega/2\pi = 50~\text{ц}$.

	![К задаче $11.4.17$\|1774x429, 100%](../../img/11.4.17/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-16 082119.png)		![К задаче $11.4.17$\|1774x429, 100%](../../img/11.4.17/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-16 082119.png)


	### Решение		### Решение


	#### Цепь а		#### Цепь а

	Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:		Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:

	\begin{gather*}		\begin{gather*}
	I_L+I_1=I_R,\tag{1}\\\\		I_L+I_1=I_R,\tag{1}\\\\
	L\frac{dI_L}{dt}=0,\tag{2}\\\\		L\frac{dI_L}{dt}=0,\tag{2}\\\\
	I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3}		I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3}
	\end{gather*}		\end{gather*}

	где $I_L$ есть ток в катушке, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнение $(1)$ записано для, например, верхнего узла цепи, уравнение $(2)$ — для левого контура цепи, $(3)$ — для правого контура.)		где $I_L$ есть ток в катушке, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнение $(1)$ записано для, например, верхнего узла цепи, уравнение $(2)$ — для левого контура цепи, $(3)$ — для правого контура.)

	Из $(3)$:		Из $(3)$:

	$$		$$
	I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t.		I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t.
	$$		$$

	Из $(2)$:		Из $(2)$:

	$$		$$
	I_L=B		I_L=B
	$$		$$

	где $B$ есть константа интегрирования. Эта константа определяется начальными условиями. В момент образования цепи ток в катушке обозначим $I_{L0}$, тогда $B=I_{L0}$ [1]. Значит:		где $B$ есть константа интегрирования. Эта константа определяется начальными условиями. В момент образования цепи ток в катушке обозначим $I_{L0}$, тогда $B=I_{L0}$ [1]. Значит:

	$$		$$
	I_L=I_{L0}.		I_L=I_{L0}.
	$$		$$

	Из $(1)$:		Из $(1)$:

	$$		$$
	I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0}.		I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0}.
	$$		$$

	Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений [1]:		Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений [1]:

	$$		$$
	P=\bar{I}^2_{\\!R}R,		P=\bar{I}^2_{\\!R}R,
	$$		$$

	где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.		где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.

	Тогда		Тогда

	$$		$$
	P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.		P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.
	$$		$$


	#### Цепь б		#### Цепь б

	Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:		Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:

	\begin{gather*}		\begin{gather*}
	I_C+I_1=I_R,\tag{1}\\\\		I_C+I_1=I_R,\tag{1}\\\\
	U_C=\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t,\tag{2}\\\\		U_C=\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t,\tag{2}\\\\
	I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3}		I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3}
	\end{gather*}		\end{gather*}

	где $I_C$ есть ток в конденсаторе, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнения записаны тем же способом, как и в пункте а; заряд левой обкладки конденсатора считается положительным [1])		где $I_C$ есть ток в конденсаторе, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнения записаны тем же способом, как и в пункте а; заряд левой обкладки конденсатора считается положительным [1])

	Из $(3)$:		Из $(3)$:

	$$		$$
	I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t.		I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t.
	$$		$$

	Ток через емкость		Ток через емкость

	$$		$$
	I_C=\dot{q}_C.		I_C=\dot{q}_C.
	$$		$$

	где $q_C$ есть заряд конденсатора.		где $q_C$ есть заряд конденсатора.

	@@ -88,7 +88,7 @@Цепь б
	Тогда с учетом $(2)$:		Тогда с учетом $(2)$:

	$$		$$
	I_C=\frac{d}{dt}\Big(C~~\left~~(\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t~~\right~~)\Big);		I_C=\frac{d}{dt}\Big(C\big(\mathscr E_0\cos\omega t-\mathscr E_0\sin\omega t\big)\Big);
	$$		$$

	после дифференцирования		после дифференцирования

	$$		$$
	I_C=-\mathscr E_0\omega C\left(\sin\omega t+\cos\omega t\right).		I_C=-\mathscr E_0\omega C\left(\sin\omega t+\cos\omega t\right).
	$$		$$

	Из $(1)$:		Из $(1)$:

	$$		$$
	I_1=\mathscr E_0\left(\frac{1}{R}+\omega C\right)\sin\omega t+\mathscr E_0\omega C\cos\omega t.		I_1=\mathscr E_0\left(\frac{1}{R}+\omega C\right)\sin\omega t+\mathscr E_0\omega C\cos\omega t.
	$$		$$

	Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений:		Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений:

	$$		$$
	P=\bar{I}^2_{\\!R}R,		P=\bar{I}^2_{\\!R}R,
	$$		$$

	где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.		где $\bar{I}_{\\!R}=\dfrac{I_{R\text{m}}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.

	Тогда		Тогда

	$$		$$
	P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.		P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.
	$$		$$


	#### Литература		#### Литература

	[1] В. В. Можаев. Катушки индуктивности в электрических цепях. «Квант», 2005, №4.		[1] В. В. Можаев. Катушки индуктивности в электрических цепях. «Квант», 2005, №4.

	[2] И. В. Яковлев. Физика. МЦНМО. 2021.		[2] И. В. Яковлев. Физика. МЦНМО. 2021.


	#### Ответ		#### Ответ

	а.		а.

	\begin{gather*}		\begin{gather*}
	I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t,\\\\		I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t,\\\\
	I_L=I_{L0},\\\\		I_L=I_{L0},\\\\
	I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0},\\\\		I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0},\\\\
	P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.		P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.
	\end{gather*}		\end{gather*}

	где $I_{L0}$ есть ток в катушке в момент образования цепи; $I_1$ есть ток в средней ветви.		где $I_{L0}$ есть ток в катушке в момент образования цепи; $I_1$ есть ток в средней ветви.

	б.		б.

	\begin{gather*}		\begin{gather*}
	I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t,\\\\		I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t,\\\\
	I_C=-\mathscr E_0\omega C\left(\sin\omega t+\cos\omega t\right),\\\\		I_C=-\mathscr E_0\omega C\left(\sin\omega t+\cos\omega t\right),\\\\
	I_1=\mathscr E_0\left(\frac{1}{R}+\omega C\right)\sin\omega t+\mathscr E_0\omega C\cos\omega t,\\\\		I_1=\mathscr E_0\left(\frac{1}{R}+\omega C\right)\sin\omega t+\mathscr E_0\omega C\cos\omega t,\\\\
	P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.		P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.
	\end{gather*}		\end{gather*}
	ещё строк без изменений 54