Правка разделов «Условие», «Решение», «Цепь а»

igor правка от 16 мар. 2026 г., 06:01

правка #17701 предыдущая #17700 ← раньше позже →

ru/11.4.17.md +72 −2

		@@ -1,11 +1,81 @@
			### Условие

		−	$11.4.17.$ [Вставьте условие задачи]
		+	$11.4.17.$ Найдите установившиеся токи в электрических цепях, изображенных на рисунке. Внутреннее сопротивление источников напряжения равно нулю. Определите среднюю мощность, выделяющуюся в цепях, если $E_0 = 200~\text{В}$, $R = 100~\text{Ом}$, $C = $10$^{−4}~\text{Ф}$, $L = 1~\text{Гн}$. Частота напряжения источника $\nu = \omega/2\pi = 50~\text{ц}$.

		+	![К задаче $11.4.17$\|1774x429, 100%](../../img/11.4.17/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-16 082119.png)
		+
		+
			### Решение

		−	11
		+
		+	#### Цепь а
		+
		+	Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:
		+
		+	\begin{gather*}
		+	I_L+I_1=I_R,\tag{1}\\\\
		+	L\frac{dI_L}{dt}=\mathscr E_0\sin\omega t,\tag{2}\\\\
		+	I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3}
		+	\end{gather*}
		+
		+	где $I_L$ есть ток в катушке, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнение $(1)$ записано для, например, верхнего узла цепи, уравнение $(2)$ — для левого контура цепи, $(3)$ — для правого контура.)
		+
		+	Из $(3)$:
		+
		+	$$
		+	I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t.
		+	$$
		+
		+	Из $(2)$:
		+
		+	$$
		+	I_L=C
		+	$$
		+
		+	где $C$ есть константа интегрирования. Эта константа определяется начальными условиями. В момент образования цепи ток в катушке обозначим $I_{L0}$, тогда $C=I_{L0}$, значит:
		+
		+	$$
		+	I_L=I_{L0}.
		+	$$
		+
		+	Из $(1)$:
		+
		+	$$
		+	I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0}.
		+	$$
		+
		+	Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений:
		+
		+	$$
		+	P=\bar{I}^2_{R}R,
		+	$$
		+
		+	где $\bar{I}_R=\dfrac{I_\text{m}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.
		+
		+	Тогда
		+
		+	$$
		+	P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.
		+	$$
		+
		+
		+	#### Цепь б
		+
		+	Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:
		+
		+	\begin{gather*}
		+	I_L+I_1=I_R,\tag{1}\\\\
		+	L\frac{dI_L}{dt}=\mathscr E_0\sin\omega t,\tag{2}\\\\
		+	I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3}
		+	\end{gather*}
		+
		+
		+
		+
		+
		+
		+

			#### Ответ

			[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]

	@@ -1,11 +1,81 @@
	### Условие		### Условие

	$11.4.17.$ [Вставьте условие задачи]		$11.4.17.$ Найдите установившиеся токи в электрических цепях, изображенных на рисунке. Внутреннее сопротивление источников напряжения равно нулю. Определите среднюю мощность, выделяющуюся в цепях, если $E_0 = 200~\text{В}$, $R = 100~\text{Ом}$, $C = $10$^{−4}~\text{Ф}$, $L = 1~\text{Гн}$. Частота напряжения источника $\nu = \omega/2\pi = 50~\text{ц}$.

			![К задаче $11.4.17$\|1774x429, 100%](../../img/11.4.17/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-16 082119.png)


	### Решение		### Решение

	11
			#### Цепь а

			Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:

			\begin{gather*}
			I_L+I_1=I_R,\tag{1}\\\\
			L\frac{dI_L}{dt}=\mathscr E_0\sin\omega t,\tag{2}\\\\
			I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3}
			\end{gather*}

			где $I_L$ есть ток в катушке, $I_1$ есть ток в средней ветви, $I_R$ есть ток в резисторе. (Уравнение $(1)$ записано для, например, верхнего узла цепи, уравнение $(2)$ — для левого контура цепи, $(3)$ — для правого контура.)

			Из $(3)$:

			$$
			I_R=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t.
			$$

			Из $(2)$:

			$$
			I_L=C
			$$

			где $C$ есть константа интегрирования. Эта константа определяется начальными условиями. В момент образования цепи ток в катушке обозначим $I_{L0}$, тогда $C=I_{L0}$, значит:

			$$
			I_L=I_{L0}.
			$$

			Из $(1)$:

			$$
			I_1=\frac{\mathscr E_0}{R}\sin\omega t-I_{L0}.
			$$

			Среднюю мощность тепловыделения найдем в терминах эффективных значений:

			$$
			P=\bar{I}^2_{R}R,
			$$

			где $\bar{I}_R=\dfrac{I_\text{m}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\mathscr E_0}{\sqrt2R}$ есть эффективное (действующее) значение синусоидального тока через резистор.

			Тогда

			$$
			P=\frac{\mathscr E_0^2}{2R}=200~\text{Вт}.
			$$


			#### Цепь б

			Составим полную систему уравнений по правилам Кирхгофа:

			\begin{gather*}
			I_L+I_1=I_R,\tag{1}\\\\
			L\frac{dI_L}{dt}=\mathscr E_0\sin\omega t,\tag{2}\\\\
			I_RR=\mathscr E_0\sin\omega t;\tag{3}
			\end{gather*}








	#### Ответ		#### Ответ

	[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]		[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]