| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $2.8.31^*.$ На парту с углом наклона $\alpha > 30^\circ$ кладут шестигранный карандаш так, чтобы он не скатывался вниз и не скользил. При каком наименьшем угле между карандашом и горизонтальным краем парты это возможно? | | $2.8.31^*.$ На парту с углом наклона $\alpha > 30^\circ$ кладут шестигранный карандаш так, чтобы он не скатывался вниз и не скользил. При каком наименьшем угле между карандашом и горизонтальным краем парты это возможно? |
| | | |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Отсутствие скольжения выполняется при | | Отсутствие скольжения выполняется при |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha | | \mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| (см. задачу [$2.1.20$](/ru/11.5.18)). | | (см. задачу [$2.1.20$](/ru/11.5.18)). |
| | | |
| Условие отсутствия перекатывания запишем в терминах моментов сил. Разложим силу тяжести на составляющую, действующую перпендикулярно плоскости: | | Условие отсутствия перекатывания запишем в терминах моментов сил. Разложим силу тяжести на составляющую, действующую перпендикулярно плоскости: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| mg\cos\alpha | | mg\cos\alpha |
| $$ | | $$ |
| | | |
| и составляющую, действующую вдоль плоскости: | | и составляющую, действующую вдоль плоскости: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| mg\sin\alpha. | | mg\sin\alpha. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Они изображены на рисунке. | | Они изображены на рисунке. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Установим карандаш под углом $\varphi$ к горизонтальному краю парты. Вынуждает выйти из равновесия сила $mg\sin\alpha\cos\varphi$, возвращает в равновесие сила $mg\cos\alpha$. | | Установим карандаш под углом $\varphi$ к горизонтальному краю парты. Вынуждает выйти из равновесия сила $mg\sin\alpha\cos\varphi$, возвращает в равновесие сила $mg\cos\alpha$. |
| | | |
| Правило моментов для отсутствия перекатывания относительно ребра: | | Правило моментов для отсутствия перекатывания относительно ребра: |
| | | |
| $$ | | $$ |
| mg\sin\alpha\cos\varphi\cdot a\cos(\pi/6)\leqslant mg\cos\alpha\cdot a\sin(\pi/6), | | mg\sin\alpha\cos\varphi\cdot a\cos(\pi/6)\leqslant mg\cos\alpha\cdot a\sin(\pi/6), |
| $$ | | $$ |
| | | |
| где $a$ есть сторона карандаша в поперечном сечении. | | где $a$ есть сторона карандаша в поперечном сечении. |
| | | |
| Откуда | | Откуда |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \cos\varphi\leqslant\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}. | | \cos\varphi\leqslant\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}. |
| $$ | | $$ |
| | | |
| Минимальный угол достигается при | | Минимальный угол достигается при |
| | | |
| $$ | | $$ |
| [1] А. И. Черноуцан. Задачи на уравнение моментов сил. «Квант», 2010, №4. | | [1] А. И. Черноуцан. Задачи на уравнение моментов сил. «Квант», 2010, №4. |
| | | |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}, | | \cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}, |
| $$ | | $$ |
| | | |
| считаем $\mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha$. | | считаем $\mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha$. |
