Edit to “Решение”

igor edited Mar 23, 2026, 7:48 AM

View solution History

revision #17729 parent #17728 ← older newer →

ru/2.8.31.md +1 −0

			### Условие

			$2.8.31^*.$ На парту с углом наклона $\alpha > 30^\circ$ кладут шестигранный карандаш так, чтобы он не скатывался вниз и не скользил. При каком наименьшем угле между карандашом и горизонтальным краем парты это возможно?


			### Решение

			Отсутствие скольжения выполняется при

			$$
			\mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha
			$$

			(см. задачу [$2.1.20$](/ru/11.5.18)).

			Условие отсутствия перекатывания запишем в терминах моментов сил. Разложим силу тяжести на составляющую, действующую перпендикулярно плоскости:

			$$
			mg\cos\alpha
			$$

			и составляющую, действующую вдоль плоскости:

			$$
			mg\sin\alpha.
			$$

			Они изображены на рисунке.

			![\|1688x584, 100%](../../img/2.8.31/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-23 102038.png)

			Установим карандаш под углом $\varphi$ к горизонтальному краю парты. Вынуждает выйти из равновесия сила $mg\sin\alpha\cos\varphi$, возвращает в равновесие сила $mg\cos\alpha$.

			Правило моментов для отсутствия перекатывания относительно ребра:

			$$
			mg\sin\alpha\cos\varphi\cdot a\cos(\pi/6)\leqslant mg\cos\alpha\cdot a\sin(\pi/6),
			$$

			где $a$ есть сторона карандаша в поперечном сечении.

			Откуда

			$$
			\cos\varphi\leqslant\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}.
			$$

			Минимальный угол достигается при

			$$
		@@ -51,6 +51,7 @@Решение
			\cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}.
			$$

		+	Заметим, по условию $\operatorname{ctg}\alpha/\sqrt3<1$, поэтому $\varphi>0$.

			#### Литература

			[1] А. И. Черноуцан. Задачи на уравнение моментов сил. «Квант», 2010, №4.


			#### Ответ

			$$
			\cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3},
			$$

			считаем $\mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha$.
		unchanged lines 10

	### Условие		### Условие

	$2.8.31^*.$ На парту с углом наклона $\alpha > 30^\circ$ кладут шестигранный карандаш так, чтобы он не скатывался вниз и не скользил. При каком наименьшем угле между карандашом и горизонтальным краем парты это возможно?		$2.8.31^*.$ На парту с углом наклона $\alpha > 30^\circ$ кладут шестигранный карандаш так, чтобы он не скатывался вниз и не скользил. При каком наименьшем угле между карандашом и горизонтальным краем парты это возможно?


	### Решение		### Решение

	Отсутствие скольжения выполняется при		Отсутствие скольжения выполняется при

	$$		$$
	\mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha		\mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha
	$$		$$

	(см. задачу [$2.1.20$](/ru/11.5.18)).		(см. задачу [$2.1.20$](/ru/11.5.18)).

	Условие отсутствия перекатывания запишем в терминах моментов сил. Разложим силу тяжести на составляющую, действующую перпендикулярно плоскости:		Условие отсутствия перекатывания запишем в терминах моментов сил. Разложим силу тяжести на составляющую, действующую перпендикулярно плоскости:

	$$		$$
	mg\cos\alpha		mg\cos\alpha
	$$		$$

	и составляющую, действующую вдоль плоскости:		и составляющую, действующую вдоль плоскости:

	$$		$$
	mg\sin\alpha.		mg\sin\alpha.
	$$		$$

	Они изображены на рисунке.		Они изображены на рисунке.

	![\|1688x584, 100%](../../img/2.8.31/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-23 102038.png)		![\|1688x584, 100%](../../img/2.8.31/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-03-23 102038.png)

	Установим карандаш под углом $\varphi$ к горизонтальному краю парты. Вынуждает выйти из равновесия сила $mg\sin\alpha\cos\varphi$, возвращает в равновесие сила $mg\cos\alpha$.		Установим карандаш под углом $\varphi$ к горизонтальному краю парты. Вынуждает выйти из равновесия сила $mg\sin\alpha\cos\varphi$, возвращает в равновесие сила $mg\cos\alpha$.

	Правило моментов для отсутствия перекатывания относительно ребра:		Правило моментов для отсутствия перекатывания относительно ребра:

	$$		$$
	mg\sin\alpha\cos\varphi\cdot a\cos(\pi/6)\leqslant mg\cos\alpha\cdot a\sin(\pi/6),		mg\sin\alpha\cos\varphi\cdot a\cos(\pi/6)\leqslant mg\cos\alpha\cdot a\sin(\pi/6),
	$$		$$

	где $a$ есть сторона карандаша в поперечном сечении.		где $a$ есть сторона карандаша в поперечном сечении.

	Откуда		Откуда

	$$		$$
	\cos\varphi\leqslant\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}.		\cos\varphi\leqslant\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}.
	$$		$$

	Минимальный угол достигается при		Минимальный угол достигается при

	$$		$$
	@@ -51,6 +51,7 @@Решение
	\cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}.		\cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3}.
	$$		$$

			Заметим, по условию $\operatorname{ctg}\alpha/\sqrt3<1$, поэтому $\varphi>0$.

	#### Литература		#### Литература

	[1] А. И. Черноуцан. Задачи на уравнение моментов сил. «Квант», 2010, №4.		[1] А. И. Черноуцан. Задачи на уравнение моментов сил. «Квант», 2010, №4.


	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	\cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3},		\cos\varphi_\text{min}=\frac{\operatorname{ctg}\alpha}{\sqrt3},
	$$		$$

	считаем $\mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha$.		считаем $\mu\geqslant\operatorname{tg}\alpha$.
	unchanged lines 10