Правка раздела «Решение»
ru/5.8.12.md
+4 −4
| ### Условие | |||
| $5.8.12.$ В пространстве объема $2V_{0}$ движется $2N$ молекул. Во сколько раз вероятность обнаружить $N$ в области объема $V_{0}−V$ меньше вероятности обнаружить $N$ молекул во всем пространстве $V_{0}$? | |||
| ### Решение | |||
| Считаю, что молекулы распределены равновероятно по объёму $2V_{0}$. Вероятность попадания одной молекулы в объём $V_{0}−V$: | |||
| @@ -8,7 +8,7 @@Решение | |||
| $$p=\frac{V_{0}-V}{2V_{0}}$$ | |||
| − | Вероятность попадания | ||
| + | Зафиксируем конкретные $N$ молекул. Вероятность попадания этих молекул в этот же объём (события считаем независимыми и одновременными): | ||
| $$p^{'}=\underset{N}{p\cdot p\cdot ...\cdot p}=p^{N}=\left( \frac{V_{0}-V}{2V_{0}} \right)^{N}$$ | |||
| Но у нас $2N$ молекул, значит остальные $N$ молекул не должны попасть в объём $V_{0}−V$. Вероятность этого события: | |||
| $$p^{''}=\left( 1-p \right)^{N}=\left( 1-\frac{V_{0}-V}{2V_{0}} \right)^{N}=\left( \frac{V_{0}+V}{2V_{0}} \right)^{N}$$ | |||
| События $p^{'}$ и $p^{''}$ должны произойти одновременно, значит общая вероятность будет равна произведению этих вероятностей: | |||
| $$p^{'''}=p^{'}\cdot p^{''}=\left( \frac{V_{0}-V}{2V_{0}} \right)^{N}\cdot \left( \frac{V_{0}+V}{2V_{0}} \right)^{N}=\left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{4V_{0}^{2}} \right)^{N}$$ | |||
| @@ -22,23 +22,23 @@Решение | |||
| Наши молекулы абсолютно одинаковы и мы можем реализовать данное состояние комбинацией разных $N$ молекул из полного набора $2N$. Это означает, что результирующая вероятность возрастает в $\mathrm{C}_{2N}^{N}$ раз, то есть на количество таких комбинаций. | |||
| − | Итак, результирующая вероятность состояния обнаружить $N$ молекул в области объема $V_{0}−V$: | ||
| + | Итак, результирующая вероятность состояния обнаружить любые $N$ молекул в области объема $V_{0}−V$: | ||
| $$P_{1}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot \left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{4V_{0}^{2}} \right)^{N}$$ | |||
| Теперь рассмотрим вероятность состояния обнаружить $N$ молекул во всем пространстве $V_{0}$. Размышляя аналогично, получим, что вероятность попадания одной молекулы в объём $V_{0}$: | |||
| $$p=\frac{V_{0}}{2V_{0}}=\frac{1}{2}$$ | |||
| − | Для $N$ молекул: | ||
| + | Для фиксированых $N$ молекул: | ||
| $$p^{'}=\left( \frac{1}{2} \right)^{N}$$ | |||
| Вероятность того, что другие $N$ молекул находяться в другой части такого же объёма $V_{0}$: | |||
| $$p^{''}=\left( 1-p \right)^{N}=\left( 1-\frac{1}{2} \right)^{N}=\left( \frac{1}{2} \right)^{N}$$ | |||
| − | Тогда результирующая вероятность обнаружить состояние при котором $N$ молекул находяться в пространстве $V_{0}$: | ||
| + | Тогда результирующая вероятность обнаружить состояние при котором любые $N$ молекул находяться в пространстве $V_{0}$: | ||
| $$P_{2}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot p^{'}\cdot p^{''}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{N}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{2N}$$ | |||
| Можем записать так: | |||
| $$P_{2}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{2N}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{4} \right)^{N}$$ | |||
| Отношение вероятностей: | |||
| $$\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot \left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{4V_{0}^{2}} \right)^{N}}{\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{4} \right)^{N}}=\left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{V_{0}^{2}} \right)^{N}$$ | |||
| Окончательно: | |||
| $$\frac{P_{1}}{P_{2}}=\left( 1-\frac{V^{2}}{V_{0}^{2}} \right)^{N}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$\text{В }\left( 1-\frac{V^{2}}{V_{0}^{2}} \right)^{N}\text{ раз.}$$ | |||
| ещё строк без изменений 15 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $5.8.12.$ В пространстве объема $2V_{0}$ движется $2N$ молекул. Во сколько раз вероятность обнаружить $N$ в области объема $V_{0}−V$ меньше вероятности обнаружить $N$ молекул во всем пространстве $V_{0}$? | $5.8.12.$ В пространстве объема $2V_{0}$ движется $2N$ молекул. Во сколько раз вероятность обнаружить $N$ в области объема $V_{0}−V$ меньше вероятности обнаружить $N$ молекул во всем пространстве $V_{0}$? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Считаю, что молекулы распределены равновероятно по объёму $2V_{0}$. Вероятность попадания одной молекулы в объём $V_{0}−V$: | Считаю, что молекулы распределены равновероятно по объёму $2V_{0}$. Вероятность попадания одной молекулы в объём $V_{0}−V$: | ||
| @@ -8,7 +8,7 @@Решение | |||
| $$p=\frac{V_{0}-V}{2V_{0}}$$ | $$p=\frac{V_{0}-V}{2V_{0}}$$ | ||
| Вероятность попадания |
Зафиксируем конкретные $N$ молекул. Вероятность попадания этих молекул в этот же объём (события считаем независимыми и одновременными): | ||
| $$p^{'}=\underset{N}{p\cdot p\cdot ...\cdot p}=p^{N}=\left( \frac{V_{0}-V}{2V_{0}} \right)^{N}$$ | $$p^{'}=\underset{N}{p\cdot p\cdot ...\cdot p}=p^{N}=\left( \frac{V_{0}-V}{2V_{0}} \right)^{N}$$ | ||
| Но у нас $2N$ молекул, значит остальные $N$ молекул не должны попасть в объём $V_{0}−V$. Вероятность этого события: | Но у нас $2N$ молекул, значит остальные $N$ молекул не должны попасть в объём $V_{0}−V$. Вероятность этого события: | ||
| $$p^{''}=\left( 1-p \right)^{N}=\left( 1-\frac{V_{0}-V}{2V_{0}} \right)^{N}=\left( \frac{V_{0}+V}{2V_{0}} \right)^{N}$$ | $$p^{''}=\left( 1-p \right)^{N}=\left( 1-\frac{V_{0}-V}{2V_{0}} \right)^{N}=\left( \frac{V_{0}+V}{2V_{0}} \right)^{N}$$ | ||
| События $p^{'}$ и $p^{''}$ должны произойти одновременно, значит общая вероятность будет равна произведению этих вероятностей: | События $p^{'}$ и $p^{''}$ должны произойти одновременно, значит общая вероятность будет равна произведению этих вероятностей: | ||
| $$p^{'''}=p^{'}\cdot p^{''}=\left( \frac{V_{0}-V}{2V_{0}} \right)^{N}\cdot \left( \frac{V_{0}+V}{2V_{0}} \right)^{N}=\left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{4V_{0}^{2}} \right)^{N}$$ | $$p^{'''}=p^{'}\cdot p^{''}=\left( \frac{V_{0}-V}{2V_{0}} \right)^{N}\cdot \left( \frac{V_{0}+V}{2V_{0}} \right)^{N}=\left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{4V_{0}^{2}} \right)^{N}$$ | ||
| @@ -22,23 +22,23 @@Решение | |||
| Наши молекулы абсолютно одинаковы и мы можем реализовать данное состояние комбинацией разных $N$ молекул из полного набора $2N$. Это означает, что результирующая вероятность возрастает в $\mathrm{C}_{2N}^{N}$ раз, то есть на количество таких комбинаций. | Наши молекулы абсолютно одинаковы и мы можем реализовать данное состояние комбинацией разных $N$ молекул из полного набора $2N$. Это означает, что результирующая вероятность возрастает в $\mathrm{C}_{2N}^{N}$ раз, то есть на количество таких комбинаций. | ||
| Итак, результирующая вероятность состояния обнаружить $N$ молекул в области объема $V_{0}−V$: | Итак, результирующая вероятность состояния обнаружить любые $N$ молекул в области объема $V_{0}−V$: | ||
| $$P_{1}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot \left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{4V_{0}^{2}} \right)^{N}$$ | $$P_{1}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot \left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{4V_{0}^{2}} \right)^{N}$$ | ||
| Теперь рассмотрим вероятность состояния обнаружить $N$ молекул во всем пространстве $V_{0}$. Размышляя аналогично, получим, что вероятность попадания одной молекулы в объём $V_{0}$: | Теперь рассмотрим вероятность состояния обнаружить $N$ молекул во всем пространстве $V_{0}$. Размышляя аналогично, получим, что вероятность попадания одной молекулы в объём $V_{0}$: | ||
| $$p=\frac{V_{0}}{2V_{0}}=\frac{1}{2}$$ | $$p=\frac{V_{0}}{2V_{0}}=\frac{1}{2}$$ | ||
| Для $N$ молекул: | Для фиксированых $N$ молекул: | ||
| $$p^{'}=\left( \frac{1}{2} \right)^{N}$$ | $$p^{'}=\left( \frac{1}{2} \right)^{N}$$ | ||
| Вероятность того, что другие $N$ молекул находяться в другой части такого же объёма $V_{0}$: | Вероятность того, что другие $N$ молекул находяться в другой части такого же объёма $V_{0}$: | ||
| $$p^{''}=\left( 1-p \right)^{N}=\left( 1-\frac{1}{2} \right)^{N}=\left( \frac{1}{2} \right)^{N}$$ | $$p^{''}=\left( 1-p \right)^{N}=\left( 1-\frac{1}{2} \right)^{N}=\left( \frac{1}{2} \right)^{N}$$ | ||
| Тогда результирующая вероятность обнаружить состояние при котором $N$ молекул находяться в пространстве $V_{0}$: | Тогда результирующая вероятность обнаружить состояние при котором любые $N$ молекул находяться в пространстве $V_{0}$: | ||
| $$P_{2}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot p^{'}\cdot p^{''}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{N}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{2N}$$ | $$P_{2}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot p^{'}\cdot p^{''}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{N}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{2N}$$ | ||
| Можем записать так: | Можем записать так: | ||
| $$P_{2}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{2N}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{4} \right)^{N}$$ | $$P_{2}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{2N}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{4} \right)^{N}$$ | ||
| Отношение вероятностей: | Отношение вероятностей: | ||
| $$\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot \left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{4V_{0}^{2}} \right)^{N}}{\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{4} \right)^{N}}=\left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{V_{0}^{2}} \right)^{N}$$ | $$\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot \left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{4V_{0}^{2}} \right)^{N}}{\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{4} \right)^{N}}=\left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{V_{0}^{2}} \right)^{N}$$ | ||
| Окончательно: | Окончательно: | ||
| $$\frac{P_{1}}{P_{2}}=\left( 1-\frac{V^{2}}{V_{0}^{2}} \right)^{N}$$ | $$\frac{P_{1}}{P_{2}}=\left( 1-\frac{V^{2}}{V_{0}^{2}} \right)^{N}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$\text{В }\left( 1-\frac{V^{2}}{V_{0}^{2}} \right)^{N}\text{ раз.}$$ | $$\text{В }\left( 1-\frac{V^{2}}{V_{0}^{2}} \right)^{N}\text{ раз.}$$ | ||
| ещё строк без изменений 15 | |||