Решение

Считаю, что молекулы распределены равновероятно по объёму $2V_{0}$. Вероятность попадания одной молекулы в объём $V_{0}−V$:

$$p=\frac{V_{0}-V}{2V_{0}}$$

Зафиксируем конкретные $N$ молекул. Вероятность попадания этих молекул в этот же объём (события считаем независимыми и одновременными):

$$p^{'}=\underset{N}{p\cdot p\cdot ...\cdot p}=p^{N}=\left( \frac{V_{0}-V}{2V_{0}} \right)^{N}$$

Но у нас $2N$ молекул, значит остальные $N$ молекул не должны попасть в объём $V_{0}−V$. Вероятность этого события:

$$p^{''}=\left( 1-p \right)^{N}=\left( 1-\frac{V_{0}-V}{2V_{0}} \right)^{N}=\left( \frac{V_{0}+V}{2V_{0}} \right)^{N}$$

События $p^{'}$ и $p^{''}$ должны произойти одновременно, значит общая вероятность будет равна произведению этих вероятностей:

$$p^{'''}=p^{'}\cdot p^{''}=\left( \frac{V_{0}-V}{2V_{0}} \right)^{N}\cdot \left( \frac{V_{0}+V}{2V_{0}} \right)^{N}=\left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{4V_{0}^{2}} \right)^{N}$$

Наши молекулы абсолютно одинаковы и мы можем реализовать данное состояние комбинацией разных $N$ молекул из полного набора $2N$. Это означает, что результирующая вероятность возрастает в $\mathrm{C}_{2N}^{N}$ раз, то есть на количество таких комбинаций.

Итак, результирующая вероятность состояния обнаружить любые $N$ молекул в области объема $V_{0}−V$:

$$P_{1}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot \left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{4V_{0}^{2}} \right)^{N}$$

Теперь рассмотрим вероятность состояния обнаружить $N$ молекул во всем пространстве $V_{0}$. Размышляя аналогично, получим, что вероятность попадания одной молекулы в объём $V_{0}$:

$$p=\frac{V_{0}}{2V_{0}}=\frac{1}{2}$$

Для фиксированых $N$ молекул:

$$p^{'}=\left( \frac{1}{2} \right)^{N}$$

Вероятность того, что другие $N$ молекул находяться в другой части такого же объёма $V_{0}$:

$$p^{''}=\left( 1-p \right)^{N}=\left( 1-\frac{1}{2} \right)^{N}=\left( \frac{1}{2} \right)^{N}$$

Тогда результирующая вероятность обнаружить состояние при котором любые $N$ молекул находяться в пространстве $V_{0}$:

$$P_{2}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot p^{'}\cdot p^{''}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{N}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{2N}$$

Можем записать так:

$$P_{2}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{2} \right)^{2N}=\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{4} \right)^{N}$$

Отношение вероятностей:

$$\frac{P_{1}}{P_{2}}=\frac{\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot \left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{4V_{0}^{2}} \right)^{N}}{\mathrm{C}_{2N}^{N}\cdot\left( \frac{1}{4} \right)^{N}}=\left( \frac{V_{0}^{2}-V^{2}}{V_{0}^{2}} \right)^{N}$$

Окончательно:

$$\frac{P_{1}}{P_{2}}=\left( 1-\frac{V^{2}}{V_{0}^{2}} \right)^{N}$$