Правка раздела «Решение»

emixter правка от 3 апр. 2026 г., 19:18

правка #17792 предыдущая #17791 ← раньше

ru/5.8.8.md +7 −7

			### Условие

			$5.8.8.$ При переходе частиц из области 1 в область 2 на границе этих областей над частицами совершается работа $A$. Докажите, что вероятность обнаружить в объеме $\Delta V$ частицу, имеющую скорость в интервале $\Delta\upsilon$, везде одинакова, если частицы в области 1 равномерно распределены по скоростям.

			![К задаче $5.8.8$\|223x115, 30%](../../img/5.8.8/5.8.8.png)

			### Решение

			Рассмотрю одномерный случай. Рассмотрим площадку $S$, перпендикулярную направлению движения частиц. Нас интересуют частицы со скоростью в интервале $\left( \upsilon,\upsilon+d\upsilon \right)$, движущиеся к границе. За время $dt$ частица со скоростью $\upsilon$ проходит расстояние $\upsilon dt$. Значит, пересекут границу все частицы, находящиеся в этом слое перед поверхностью. Объём этого слоя:

			$$dV=S\upsilon dt$$

			Обозначим функцию распределение по скоростям как $f(\upsilon)$, тогда число частиц в объёме $dV$ со скоростями $\left( \upsilon,\upsilon+d\upsilon \right)$:

			$$dN=f(\upsilon)d\upsilon\cdot S\upsilon dt \tag{1}$$

			Пусть некоторая частица в области 1 имеет скорость $\upsilon_{1}$, при переходи в область 2 согласно закону сохранения энергии:

			$$\frac{m\upsilon_{2}^{2}}{2}=\frac{m\upsilon_{1}^{2}}{2}+A\Longrightarrow \upsilon_{2}^{2}=\upsilon_{1}^{2}+\frac{2A}{m} \tag{2}$$

			Продифференцируем:

			$$\upsilon_{2}d\upsilon_{2}=\upsilon_{1}d\upsilon_{1} \tag{3}$$
		@@ -24,24 +24,24 @@Решение

			Итак, число частиц, пересекающих границу из области 1 в 2 за время $dt$:

		−	$$dN_{1}=Sdt\cdot \upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}$$
		+	$$dN_{1}=Sdt\cdot \upsilon_{1}f_{1}(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}$$

			Число частиц, пересекающих границу из области 2 в 1 за время $dt$:

		−	$$dN_{2}=Sdt\cdot \upsilon_{2}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$
		+	$$dN_{2}=Sdt\cdot \upsilon_{2}f_{2}(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$

			При стационарном состоянии $dN_{1}=dN_{2}$:

		−	$$Sdt\cdot \upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=Sdt\cdot \upsilon_{2}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$
		−	$$\upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\upsilon_{2}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$
		+	$$Sdt\cdot \upsilon_{1}f_{1}(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=Sdt\cdot \upsilon_{2}f_{2}(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$
		+	$$\upsilon_{1}f_{1}(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\upsilon_{2}f_{2}(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$

			Используя (3):

		−	$$\upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\upsilon_{1}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{1}$$
		+	$$\upsilon_{1}f_{1}(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\upsilon_{1}f_{2}(\upsilon_{2})d\upsilon_{1}$$

			Отсюда:

		−	$$f(\upsilon_{1})=f(\upsilon_{2}) \tag{4}$$
		+	$$f_{1}(\upsilon_{1})=f_{2}(\upsilon_{2}) \tag{4}$$

			Плотность распределения сохраняется вдоль траекторий в пространстве скоростей, несмотря на изменение самих скоростей.

			Вероятность — это просто нормированное число частиц. Для области 1:

			$$P_{1}=\frac{dN_{1}}{N}$$

			где $N$ общее число частиц.

			Для области 2:

			$$P_{2}=\frac{dN_{2}}{N}$$
		@@ -57,6 +57,6 @@Решение

			Из равенств (3) и (4) следует:

		−	$$P_{1}=\frac{1}{N}\cdot Sdt\cdot \upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\frac{1}{N}\cdot Sdt\cdot \upsilon_{2}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}=P_{2}$$
		+	$$P_{1}=\frac{1}{N}\cdot Sdt\cdot \upsilon_{1}f_{1}(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\frac{1}{N}\cdot Sdt\cdot \upsilon_{2}f_{2}(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}=P_{2}$$

			Итак, вероятности обнаружить в объеме $\Delta V$ частицу, имеющую скорость в интервале $d\upsilon$, везде одинакова (как в области 1 так и в области 2).

	### Условие		### Условие

	$5.8.8.$ При переходе частиц из области 1 в область 2 на границе этих областей над частицами совершается работа $A$. Докажите, что вероятность обнаружить в объеме $\Delta V$ частицу, имеющую скорость в интервале $\Delta\upsilon$, везде одинакова, если частицы в области 1 равномерно распределены по скоростям.		$5.8.8.$ При переходе частиц из области 1 в область 2 на границе этих областей над частицами совершается работа $A$. Докажите, что вероятность обнаружить в объеме $\Delta V$ частицу, имеющую скорость в интервале $\Delta\upsilon$, везде одинакова, если частицы в области 1 равномерно распределены по скоростям.

	![К задаче $5.8.8$\|223x115, 30%](../../img/5.8.8/5.8.8.png)		![К задаче $5.8.8$\|223x115, 30%](../../img/5.8.8/5.8.8.png)

	### Решение		### Решение

	Рассмотрю одномерный случай. Рассмотрим площадку $S$, перпендикулярную направлению движения частиц. Нас интересуют частицы со скоростью в интервале $\left( \upsilon,\upsilon+d\upsilon \right)$, движущиеся к границе. За время $dt$ частица со скоростью $\upsilon$ проходит расстояние $\upsilon dt$. Значит, пересекут границу все частицы, находящиеся в этом слое перед поверхностью. Объём этого слоя:		Рассмотрю одномерный случай. Рассмотрим площадку $S$, перпендикулярную направлению движения частиц. Нас интересуют частицы со скоростью в интервале $\left( \upsilon,\upsilon+d\upsilon \right)$, движущиеся к границе. За время $dt$ частица со скоростью $\upsilon$ проходит расстояние $\upsilon dt$. Значит, пересекут границу все частицы, находящиеся в этом слое перед поверхностью. Объём этого слоя:

	$$dV=S\upsilon dt$$		$$dV=S\upsilon dt$$

	Обозначим функцию распределение по скоростям как $f(\upsilon)$, тогда число частиц в объёме $dV$ со скоростями $\left( \upsilon,\upsilon+d\upsilon \right)$:		Обозначим функцию распределение по скоростям как $f(\upsilon)$, тогда число частиц в объёме $dV$ со скоростями $\left( \upsilon,\upsilon+d\upsilon \right)$:

	$$dN=f(\upsilon)d\upsilon\cdot S\upsilon dt \tag{1}$$		$$dN=f(\upsilon)d\upsilon\cdot S\upsilon dt \tag{1}$$

	Пусть некоторая частица в области 1 имеет скорость $\upsilon_{1}$, при переходи в область 2 согласно закону сохранения энергии:		Пусть некоторая частица в области 1 имеет скорость $\upsilon_{1}$, при переходи в область 2 согласно закону сохранения энергии:

	$$\frac{m\upsilon_{2}^{2}}{2}=\frac{m\upsilon_{1}^{2}}{2}+A\Longrightarrow \upsilon_{2}^{2}=\upsilon_{1}^{2}+\frac{2A}{m} \tag{2}$$		$$\frac{m\upsilon_{2}^{2}}{2}=\frac{m\upsilon_{1}^{2}}{2}+A\Longrightarrow \upsilon_{2}^{2}=\upsilon_{1}^{2}+\frac{2A}{m} \tag{2}$$

	Продифференцируем:		Продифференцируем:

	$$\upsilon_{2}d\upsilon_{2}=\upsilon_{1}d\upsilon_{1} \tag{3}$$		$$\upsilon_{2}d\upsilon_{2}=\upsilon_{1}d\upsilon_{1} \tag{3}$$
	@@ -24,24 +24,24 @@Решение

	Итак, число частиц, пересекающих границу из области 1 в 2 за время $dt$:		Итак, число частиц, пересекающих границу из области 1 в 2 за время $dt$:

	$$dN_{1}=Sdt\cdot \upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}$$		$$dN_{1}=Sdt\cdot \upsilon_{1}f_{1}(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}$$

	Число частиц, пересекающих границу из области 2 в 1 за время $dt$:		Число частиц, пересекающих границу из области 2 в 1 за время $dt$:

	$$dN_{2}=Sdt\cdot \upsilon_{2}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$		$$dN_{2}=Sdt\cdot \upsilon_{2}f_{2}(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$

	При стационарном состоянии $dN_{1}=dN_{2}$:		При стационарном состоянии $dN_{1}=dN_{2}$:

	$$Sdt\cdot \upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=Sdt\cdot \upsilon_{2}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$		$$Sdt\cdot \upsilon_{1}f_{1}(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=Sdt\cdot \upsilon_{2}f_{2}(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$
	$$\upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\upsilon_{2}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$		$$\upsilon_{1}f_{1}(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\upsilon_{2}f_{2}(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$

	Используя (3):		Используя (3):

	$$\upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\upsilon_{1}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{1}$$		$$\upsilon_{1}f_{1}(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\upsilon_{1}f_{2}(\upsilon_{2})d\upsilon_{1}$$

	Отсюда:		Отсюда:

	$$f(\upsilon_{1})=f(\upsilon_{2}) \tag{4}$$		$$f_{1}(\upsilon_{1})=f_{2}(\upsilon_{2}) \tag{4}$$

	Плотность распределения сохраняется вдоль траекторий в пространстве скоростей, несмотря на изменение самих скоростей.		Плотность распределения сохраняется вдоль траекторий в пространстве скоростей, несмотря на изменение самих скоростей.

	Вероятность — это просто нормированное число частиц. Для области 1:		Вероятность — это просто нормированное число частиц. Для области 1:

	$$P_{1}=\frac{dN_{1}}{N}$$		$$P_{1}=\frac{dN_{1}}{N}$$

	где $N$ общее число частиц.		где $N$ общее число частиц.

	Для области 2:		Для области 2:

	$$P_{2}=\frac{dN_{2}}{N}$$		$$P_{2}=\frac{dN_{2}}{N}$$
	@@ -57,6 +57,6 @@Решение

	Из равенств (3) и (4) следует:		Из равенств (3) и (4) следует:

	$$P_{1}=\frac{1}{N}\cdot Sdt\cdot \upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\frac{1}{N}\cdot Sdt\cdot \upsilon_{2}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}=P_{2}$$		$$P_{1}=\frac{1}{N}\cdot Sdt\cdot \upsilon_{1}f_{1}(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\frac{1}{N}\cdot Sdt\cdot \upsilon_{2}f_{2}(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}=P_{2}$$

	Итак, вероятности обнаружить в объеме $\Delta V$ частицу, имеющую скорость в интервале $d\upsilon$, везде одинакова (как в области 1 так и в области 2).		Итак, вероятности обнаружить в объеме $\Delta V$ частицу, имеющую скорость в интервале $d\upsilon$, везде одинакова (как в области 1 так и в области 2).