Решение

Рассмотрю одномерный случай. Рассмотрим площадку $S$, перпендикулярную направлению движения частиц. Нас интересуют частицы со скоростью в интервале $\left( \upsilon,\upsilon+d\upsilon \right)$, движущиеся к границе. За время $dt$ частица со скоростью $\upsilon$ проходит расстояние $\upsilon dt$. Значит, пересекут границу все частицы, находящиеся в этом слое перед поверхностью. Объём этого слоя:

$$dV=S\upsilon dt$$

Обозначим функцию распределение по скоростям как $f(\upsilon)$, тогда число частиц в объёме $dV$ со скоростями $\left( \upsilon,\upsilon+d\upsilon \right)$:

$$dN=f(\upsilon)d\upsilon\cdot S\upsilon dt \tag{1}$$

Пусть некоторая частица в области 1 имеет скорость $\upsilon_{1}$, при переходи в область 2 согласно закону сохранения энергии:

$$\frac{m\upsilon_{2}^{2}}{2}=\frac{m\upsilon_{1}^{2}}{2}+A\Longrightarrow \upsilon_{2}^{2}=\upsilon_{1}^{2}+\frac{2A}{m} \tag{2}$$

Продифференцируем:

$$\upsilon_{2}d\upsilon_{2}=\upsilon_{1}d\upsilon_{1} \tag{3}$$

Итак, число частиц, пересекающих границу из области 1 в 2 за время $dt$:

$$dN_{1}=Sdt\cdot \upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}$$

Число частиц, пересекающих границу из области 2 в 1 за время $dt$:

$$dN_{2}=Sdt\cdot \upsilon_{2}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$

При стационарном состоянии $dN_{1}=dN_{2}$:

$$Sdt\cdot \upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=Sdt\cdot \upsilon_{2}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$
$$\upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\upsilon_{2}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}$$

Используя (3):

$$\upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\upsilon_{1}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{1}$$

Отсюда:

$$f(\upsilon_{1})=f(\upsilon_{2}) \tag{4}$$

Плотность распределения сохраняется вдоль траекторий в пространстве скоростей, несмотря на изменение самих скоростей.

Вероятность — это просто нормированное число частиц. Для области 1:

$$P_{1}=\frac{dN_{1}}{N}$$

где $N$ общее число частиц.

Для области 2:

$$P_{2}=\frac{dN_{2}}{N}$$

Из равенств (3) и (4) следует:

$$P_{1}=\frac{1}{N}\cdot Sdt\cdot \upsilon_{1}f(\upsilon_{1})d\upsilon_{1}=\frac{1}{N}\cdot Sdt\cdot \upsilon_{2}f(\upsilon_{2})d\upsilon_{2}=P_{2}$$

Итак, вероятности обнаружить в объеме $\Delta V$ частицу, имеющую скорость в интервале $d\upsilon$, везде одинакова (как в области 1 так и в области 2).