Решение

Воспользуемся решением и результатом задачи $7.2.6.$ Там была получена формула для фокусного расстояния:

$$f=\frac{4U}{E_{2}-E_{1}} \tag{1}$$

где $E_{1}$ - напряжённость электрического поля перед отверстием, $E_{2}$ - напряжённость электрического поля после отверстия. $U$ - это напряжение, которое определяет кинетическую энергию электронов в точке прохождения отверстия $T_{кин}=eU$.

У нас 3 отверстия, другими словами - 3 электронных линзы. Запишем для каждой из них своё фокусное расстояние с использованием формулы (1).

Для первой линзы (крайней слева) $U=V_{0}$, поскольку к ней электроны прилетают ускоренные этим потенциалом (напряжением) и их икнетическая энергия определяется именно этим потенциалом. Поле перед отверстием отсутствует, поэтому $E_{1}=0$. Поле после отверстия $E_{2}=\frac{V}{d}$. Тогда фокусное расстояние 1 линзы:

$$f_{1}=\frac{4V_{0}}{\frac{V}{d}-0}=\frac{4V_{0}d}{V} \tag{2}$$

Для второй линзы (по середине) $U=V_{0}-V$, поскольку электроны тормозятся полем в данной области. Но учитывая, что $V_{0}\gg V$, можем записать $U\approx V_{0}$. Поле перед отверстием $E_{1}=\frac{V}{d}$. Поле после отверстия $E_{2}=-\frac{V}{d}$, поскольку поле меняет своё направление. Тогда фокусное расстояние 2 линзы:

$$f_{2}=\frac{4V_{0}}{-\frac{V}{d}-\frac{V}{d}}=-\frac{2V_{0}d}{V} \tag{3}$$

Для третьей линзы (крайней справа) $U=V_{0}+V$, поскольку электроны ускоряются полем в данной области. Но учитывая, что $V_{0}\gg V$, можем записать $U\approx V_{0}$. Поле перед отверстием $E_{1}=-\frac{V}{d}$. Поле после отверстия $E_{2}=0$, поскольку за пределами системы поля нет. Тогда фокусное расстояние 3 линзы:

$$f_{3}=\frac{4V_{0}}{0-\left( -\frac{V}{d} \right)}=\frac{4V_{0}d}{V} \tag{4}$$

Из оптики извесно, что для системы из двух линз с фокусными расстояниями $f_{1}$ и $f_{2}$, разделённых расстоянием $d$, общее фокусное расстояние расчитывается по формуле:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{f_{1}}+\frac{1}{f_{2}}-\frac{d}{f_{1}f_{2}} \tag{5}$$

Поскольку у нас 3 линзы, то применим данную формулу последовательно два раза: сначала найдём фокусное расстояние для системы 1 и 2 линз, а потом результат применим в паре с 3 линзой.

Итак, подставим данные для 1 и 2 линз:

$$\frac{1}{F^{'}}=\frac{V}{4V_{0}d}-\frac{V}{2V_{0}d}-\frac{d}{\frac{8V_{0}^{2}d^{2}}{V^{2}}}=-\frac{V}{4V_{0}d}-\frac{V^{2}}{8V_{0}^{2}d}$$

Но поскольку $V_{0}\gg V$, вторым слагаемым мы можем пренебречь и получить:

$$\frac{1}{F^{'}}\approx -\frac{V}{4V_{0}d}\Longrightarrow F^{'}=-\frac{4V_{0}d}{V}$$

Теперь получим общее фокусное расстояние с 3 линзой:

$$\frac{1}{F}=\frac{1}{F^{'}}+\frac{1}{f_{3}}-\frac{d}{F^{'}f_{3}}=-\frac{V}{4V_{0}d}+\frac{V}{4V_{0}d}-\frac{d}{-\frac{4V_{0}d}{V}\cdot\frac{4V_{0}d}{V}}=\frac{1}{d}\left( \frac{V}{4V_{0}} \right)^{2}$$

Окончательно:

$$F=d\left( \frac{4V_{0}}{V} \right)^{2}$$