Решение

Рассмотрю, какие силы действуют, например, на верхнюю пластину. На неё действует электрическая сила, возникающая из-за разности потенциалов между пластиной (потенциал $\varphi_{A}$) и стенкой внешнего металлического корпуса (потенциал $\varphi_{B}$). Пластина притягивается к стенке корпуса. А также действует сила упругости пружины, которая стремится вернуть пластину в исходное положение. В состоянии покоя:

$$kx=F_{эл} \tag{1}$$

Пластина и стенка корпуса образуют конденсатор. При растяжении пружины на $x$ каждая пластина смещается к ближайшей стенке на $\frac{x}{2}$ из симметрии. Тогда расстояние между пластинами в конденсаторе будет: $l-\frac{x}{2}$. Ёмкость такого конденсатора будет:

$$C=\frac{\varepsilon_{0}S}{l-\frac{x}{2}} \tag{2}$$

Электрическая энергия в конденсаторе:

$$W=\frac{CU^{2}}{2}=\frac{\varepsilon_{0}S(\varphi_{A}-\varphi_{B})^{2}}{2(l-\frac{x}{2})} \tag{3}$$

Модуль электрической силы взаимодействия пластин это модуль градиента электрической энергии в конденсаторе:

$$F_{эл}=\left| \frac{dW}{dx} \right|=-\frac{\varepsilon_{0}S(\varphi_{A}-\varphi_{B})^{2}}{2(l-\frac{x}{2})^{2}}\cdot(-\frac{1}{2})=\frac{\varepsilon_{0}S(\varphi_{A}-\varphi_{B})^{2}}{4(l-\frac{x}{2})^{2}} \tag{4}$$

Подставим (4) в (1):

$$kx=\frac{\varepsilon_{0}S(\varphi_{A}-\varphi_{B})^{2}}{4(l-\frac{x}{2})^{2}} \tag{5}$$

Отсюда:

$$\varphi_{A}=\varphi_{B}+2\left( l-\frac{x}{2} \right)\sqrt{\frac{kx}{\varepsilon_{0}S}}$$