Решение

Пусть заряд внутренней сферы равен $q_{1}$. Так как она заземлена, её потенциал равен нулю: $\varphi(R_{1})=0$. Потенциал создается обоими зарядами:

$$\varphi(R_{1})=\frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}+\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}=0 \tag{1}$$

Отсюда находим заряд на внутренней сфере:

$$q_{1}=-q\frac{R_{1}}{R_{2}} \tag{2}$$

Для нахождения напряжённости поля используем теорему Гаусса:

$$\oint \vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{внут}}{\varepsilon_{0}}$$

Поле создается только зарядами, находящимися внутри рассматриваемого радиуса $r$. Внутри малой сферы ($r\lt R_{1}$) зарядов нет, поэтому $E=0$.

Между сферами ($R_{1}\lt r\lt R_{2}$) поле создает только заряд $q_{1}$:

$$E=\frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=-\frac{qR_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2} r^{2}}$$

Снаружи ($r\gt R_{2}$) поле создает суммарный заряд $Q=q+q_{1}=q(1-\frac{R_{1}}{R_{2}})$:

$$E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\left( 1-\frac{R_{1}}{R_{2}} \right)$$

Потенциал определяется интегрированием $E$. При этом считается, что $\varphi(\infty)=0$.

Внутри малой сферы ($r\le R_{1}$) поля нет, сфера заземлена, поэтому $\varphi=0$.

Между сферами ($R_{1}\le r \le R_{2}$):

$$\varphi(r) = \frac{q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r} + \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{1}{R_{2}} - \frac{R_{1}}{R_{2}r}\right) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}}\left( 1-\frac{R_{1}}{r} \right)$$

Снаружи ($r\ge R_{2}$):

$$\varphi(r) = \frac{q + q_{1}}{4\pi\varepsilon_{0}r} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}r}\left( 1-\frac{R_{1}}{R_{2}} \right)$$