Решение

$\textbf{а. }$ Запишем первоначальную ёмкость конденсатора:

$$C_{0}=\frac{\varepsilon_{0}S}{d}$$

Металл является проводником, поэтому внутри него электрическое поле равно нулю, что равнозначно уменьшению эффективного расстояния между обкладками. Расстояние между пластинами, как бы уменьшается на величину толщины пластины. Новая ёмкость будет:

$$C_{1}=\frac{\varepsilon_{0}S}{d-\frac{d}{3}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\varepsilon_{0}S}{d}=\frac{3}{2}C_{0}$$

Итак, ёмкость увеличится в 1,5 раза.

$\textbf{б. }$ В этом случае систему можно рассматривать как два параллельно соединенных конденсатора: один площадью $S^{'}$ (с металлической вставкой внутри) и второй площадью $S-S^{'}$ (пустой).

Ёмкость части со вставкой:

$$C_{1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\varepsilon_{0}S^{'}}{d}$$

Ёмкость пустой части:

$$C_{2}=\frac{\varepsilon_{0}(S-S^{'})}{d}$$

Общая ёмкость при параллельном соединении:

$$C=C_{1}+C_{2}=\frac{\varepsilon_{0}(S-S^{'}+1,5S^{'})}{d}=\frac{\varepsilon_{0}S(1+0,5\frac{S^{'}}{S})}{d}=C_{0}\left( 1+\frac{S^{'}}{2S} \right)$$

Итак, ёмкость увеличится в $1+\frac{S^{'}}{2S}$

$\textbf{в. }$ Если металлическая пластина касается обкладки, она фактически становится ее частью, просто увеличивая ее толщину. Если площади пластины и обкладок конденсатора одинаковы, то результат останется такой же, как мы получили в подзадаче $\textbf{а. }$. Если площади пластины и обкладок конденсатора различны, то результат останется такой же, как мы получили в подзадаче $\textbf{б. }$. Значит, при соприкосновении пластины с обкладкой конденсатора ничего не изменится.