Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от
Посмотреть решение История
правка #17865 предыдущая #17864 ← раньше
ru/6.4.11.md +58 −3
@@ -1,11 +1,66 @@
### Условие
−$6.4.11.$ [Вставьте условие задачи]
+$6.4.11.$ Два одинаковых плоских конденсатора вставлены друг в друга. Вначале все пластины не были заряжены, а затем к ним присоединили источники тока, поддерживающие разность потенциалов $V_{1}$ и $V_{2}$. Найдите разность потенциалов между внутренними пластинами, разделенными расстоянием $a$. Расстояние между пластинами конденсаторов $d$.
+![К задаче $6.4.11$|246x134, 40%](../../img/6.4.11/6.4.11.png)
+
### Решение
−asd
+Пронумеруем пластины и введём обозначения физических величин, как указано на рисунке:
+![|1040x676, 70%](../../img/6.4.11/6.4.11_1.jpeg)
+
+По условию задачи вначале все пластины не были заряжены, значит суммарный заряд каждой из пары пластин был равен 0. После подключения источников они перераспределяют заряды, но не создают их. По закону сохранения заряда:
+
+$$0=q_{1}+q_{3} \text{ и } 0=q_{2}+q_{4}$$
+
+Разделив на площадь пластин, получим для поверхностной плотности:
+
+$$\sigma_{1}+\sigma_{3}=0 \text{ и } \sigma_{2}+\sigma_{4}=0$$
+
+Рассмотрим конденсатор с пластинами 1 и 3. По теореме Гаусса для бесконечной пластины:
+
+$$E_{низ}-E_{верх}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$$
+
+где $E_{низ}$ и $E_{верх}$ - напряжённости электрического поля в разных полуплоскостях относительно пластины. Вне конденсатора поле отсутсвует, тогда можна записать для 1 пластины:
+
+$$\sigma_{1}=\varepsilon_{0}(E_{12}-0)=\varepsilon_{0}E_{12}$$
+
+А для 3 пластины:
+
+$$\sigma_{3}=\varepsilon_{0}(E_{34}-E_{23})$$
+
+Тогда закон сохранения заряда примет вид:
+
+$$\varepsilon_{0}E_{12}+\varepsilon_{0}(E_{34}-E_{23})=0\Longrightarrow E_{12}+E_{34}-E_{23}=0 \tag{1}$$
+
+Запишем напряжёности полей через потенциалы (смотри рисунок):
+
+$$E_{12}=\frac{\varphi_{1}-\varphi_{2}}{d-a}$$
+$$E_{34}=\frac{\varphi_{3}-\varphi_{4}}{d-a}$$
+$$E_{23}=\frac{\varphi_{2}-\varphi_{3}}{a}$$
+
+Подставим в (1):
+
+$$\frac{\varphi_{1}-\varphi_{2}}{d-a}+\frac{\varphi_{3}-\varphi_{4}}{d-a}-\frac{\varphi_{2}-\varphi_{3}}{a}=0 \tag{2}$$
+
+Напряжение на источниках:
+
+$$\varphi_{1}-\varphi_{3}=V_{1}\Longrightarrow \varphi_{1}=\varphi_{3}+V_{1}$$
+$$\varphi_{2}-\varphi_{4}=V_{2}\Longrightarrow \varphi_{4}=\varphi_{2}-V_{2}$$
+
+Подставим в (2):
+
+$$\frac{\varphi_{3}+V_{1}-\varphi_{2}}{d-a}+\frac{\varphi_{3}-\varphi_{2}+V_{2}}{d-a}-\frac{\varphi_{2}-\varphi_{3}}{a}=0 \tag{3}$$
+
+Введём обозначение $\Delta V=\varphi_{2}-\varphi_{3}$, тогда (3) можна переписать:
+
+$$\frac{V_{1}-\Delta V}{d-a}+\frac{V_{2}-\Delta V}{d-a}-\frac{\Delta V}{a}=0$$
+
+Решая это уравнение относительно $\Delta V$, легко получаем:
+
+$$\Delta V=\frac{a}{d+a}(V_{1}+V_{2})$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\Delta V=\frac{a}{d+a}(V_{1}+V_{2})$$