Решение

Пронумеруем пластины и введём обозначения физических величин, как указано на рисунке:

По условию задачи вначале все пластины не были заряжены, значит суммарный заряд каждой из пары пластин был равен 0. После подключения источников они перераспределяют заряды, но не создают их. По закону сохранения заряда:

$$0=q_{1}+q_{3} \text{ и } 0=q_{2}+q_{4}$$

Разделив на площадь пластин, получим для поверхностной плотности:

$$\sigma_{1}+\sigma_{3}=0 \text{ и } \sigma_{2}+\sigma_{4}=0$$

Рассмотрим конденсатор с пластинами 1 и 3. По теореме Гаусса для бесконечной пластины:

$$E_{низ}-E_{верх}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}$$

где $E_{низ}$ и $E_{верх}$ - напряжённости электрического поля в разных полуплоскостях относительно пластины. Вне конденсатора поле отсутсвует, тогда можна записать для 1 пластины:

$$\sigma_{1}=\varepsilon_{0}(E_{12}-0)=\varepsilon_{0}E_{12}$$

А для 3 пластины:

$$\sigma_{3}=\varepsilon_{0}(E_{34}-E_{23})$$

Тогда закон сохранения заряда примет вид:

$$\varepsilon_{0}E_{12}+\varepsilon_{0}(E_{34}-E_{23})=0\Longrightarrow E_{12}+E_{34}-E_{23}=0 \tag{1}$$

Запишем напряжёности полей через потенциалы (смотри рисунок):

$$E_{12}=\frac{\varphi_{1}-\varphi_{2}}{d-a}$$
$$E_{34}=\frac{\varphi_{3}-\varphi_{4}}{d-a}$$
$$E_{23}=\frac{\varphi_{2}-\varphi_{3}}{a}$$

Подставим в (1):

$$\frac{\varphi_{1}-\varphi_{2}}{d-a}+\frac{\varphi_{3}-\varphi_{4}}{d-a}-\frac{\varphi_{2}-\varphi_{3}}{a}=0 \tag{2}$$

Напряжение на источниках:

$$\varphi_{1}-\varphi_{3}=V_{1}\Longrightarrow \varphi_{1}=\varphi_{3}+V_{1}$$
$$\varphi_{2}-\varphi_{4}=V_{2}\Longrightarrow \varphi_{4}=\varphi_{2}-V_{2}$$

Подставим в (2):

$$\frac{\varphi_{3}+V_{1}-\varphi_{2}}{d-a}+\frac{\varphi_{3}-\varphi_{2}+V_{2}}{d-a}-\frac{\varphi_{2}-\varphi_{3}}{a}=0 \tag{3}$$

Введём обозначение $\Delta V=\varphi_{2}-\varphi_{3}$, тогда (3) можна переписать:

$$\frac{V_{1}-\Delta V}{d-a}+\frac{V_{2}-\Delta V}{d-a}-\frac{\Delta V}{a}=0$$

Решая это уравнение относительно $\Delta V$, легко получаем:

$$\Delta V=\frac{a}{d+a}(V_{1}+V_{2})$$