| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $3.4.17.$ Собственные частоты двойного маятника равны $ω_1$ и $ω_2$. Длина | | $3.4.17.$ Собственные частоты двойного маятника равны $ω_1$ и $ω_2$. Длина |
| нити, связывающей шарики маятника, равна $l$. В состоянии равновесия нижнему | | нити, связывающей шарики маятника, равна $l$. В состоянии равновесия нижнему |
| шарику сообщили небольшую скорость $v$. Определите максимальное отклонение | | шарику сообщили небольшую скорость $v$. Определите максимальное отклонение |
| нижнего шарика от положения равновесия и длину нити, связывающей верхний | | нижнего шарика от положения равновесия и длину нити, связывающей верхний |
| шарик с потолком. | | шарик с потолком. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
|  | |  |
| @@ -13,47 +13,39 @@Решение |
| |
| |
| Найдём уравнение движения. Запишем координаты шариков: |
| Найдём уравнение движения. Запишем координаты шариков: |
| $$ |
| $$ |
| x_1 = L\sin{\theta_1} |
| \begin{cases} |
| $$ |
| x_1 = L\sin{\theta_1} \newline |
| $$ |
| y_1 = L\cos{\theta_1} \newline |
| y_1 = L\cos{\theta_1} |
| x_2 = L\sin{\theta_1} + l\sin{\theta_2} \newline |
| $$ |
| |
| $$ |
| |
| x_2 = L\sin{\theta_1} + l\sin{\theta_2} |
| |
| $$ |
| |
| $$ |
| |
| y_2 = L\cos{\theta_1} + l\cos{\theta_2} |
| y_2 = L\cos{\theta_1} + l\cos{\theta_2} |
| |
| \end{cases} |
| $$ |
| $$ |
| Проекции скоростей на оси: |
| Проекции скоростей на оси: |
| $$ |
| $$ |
| \dot{x_1} = L\dot{\theta_1}\cos{\theta_1} |
| \begin{cases} |
| $$ |
| \dot{x_1} = L\dot{\theta_1}\cos{\theta_1} \newline |
| $$ |
| \dot{y_1} = -L\dot{\theta_1}\sin{\theta_1} \newline |
| \dot{y_1} = -L\dot{\theta_1}\sin{\theta_1} |
| \dot{x_2} = L\dot{\theta_1}\cos{\theta_1} + l\dot{\theta_2}\cos{\theta_2} \newline |
| $$ |
| |
| $$ |
| |
| \dot{x_2} = L\dot{\theta_1}\cos{\theta_1} + l\dot{\theta_2}\cos{\theta_2} |
| |
| $$ |
| |
| $$ |
| |
| \dot{y_1} = -L\dot{\theta_1}\sin{\theta_1} - l\dot{\theta_2}\sin{\theta_2} |
| \dot{y_1} = -L\dot{\theta_1}\sin{\theta_1} - l\dot{\theta_2}\sin{\theta_2} |
| |
| \end{cases} |
| $$ |
| $$ |
| Квадраты полных скоростей: |
| Квадраты полных скоростей: |
| $$ |
| $$ |
| v_1^2 = L^2\dot{\theta_1}^2 |
| \begin{cases} |
| $$ |
| v_1^2 = L^2\dot{\theta_1}^2 \newline |
| $$ |
| |
| v_2^2 = L^2\dot{\theta_1}^2 + l^2\dot{\theta_2}^2 + 2Ll\theta_1\theta_2\cos{(\theta_1-\theta_2)} |
| v_2^2 = L^2\dot{\theta_1}^2 + l^2\dot{\theta_2}^2 + 2Ll\theta_1\theta_2\cos{(\theta_1-\theta_2)} |
| |
| \end{cases} |
| $$ |
| $$ |
| Запишем лагранжиан системы: |
| Запишем лагранжиан системы: |
| $$ |
| $$ |
| \mathcal{L} = \frac{1}{2}m(v_1^2 + v_2^2) - mg(y_1 + y_2) = \frac{1}{2}m(2L^2\dot{\theta_1}^2 + l^2\dot{\theta_2}^2 + 2Ll\theta_1\theta_2\cos{(\theta_1-\theta_2)}) - mg(2L\cos{\theta_1} + l\cos{\theta_2}) |
| \mathcal{L} = \frac{1}{2}m(v_1^2 + v_2^2) - mg(y_1 + y_2) = \frac{1}{2}m(2L^2\dot{\theta_1}^2 + l^2\dot{\theta_2}^2 + 2Ll\theta_1\theta_2\cos{(\theta_1-\theta_2)}) - mg(2L\cos{\theta_1} + l\cos{\theta_2}) |
| $$ |
| $$ |
| И воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа: |
| И воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа: |
| $$ |
| $$ |
| \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta_1}} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_1} = 0 |
| \begin{cases} |
| $$ |
| \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta_1}} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_1} = 0 \newline |
| $$ |
| |
| \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta_2}} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_2} = 0 |
| \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta_2}} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_2} = 0 |
| |
| \end{cases} |
| $$ |
| $$ |
| Откуда получаем систему уравнений движения при малых колебаниях: |
| Откуда получаем систему уравнений движения при малых колебаниях: |
| $$ |
| $$ |
| \begin{cases} | | \begin{cases} |
| 2L\ddot{\theta_1} + l\ddot{\theta_2} + 2g\theta_1 = 0 \newline | | 2L\ddot{\theta_1} + l\ddot{\theta_2} + 2g\theta_1 = 0 \newline |
| L\ddot{\theta_1} + l\ddot{\theta_2} + g\theta_2 = 0 | | L\ddot{\theta_1} + l\ddot{\theta_2} + g\theta_2 = 0 |
| \end{cases} | | \end{cases} |
| $$ | | $$ |
| Или заменяя $\theta_j = A_je^{i\omega t}$: | | Или заменяя $\theta_j = A_je^{i\omega t}$: |
| $$ | | $$ |
| \begin{cases} | | \begin{cases} |
| (-2L\omega^2 + 2g)A_1 + (-l\omega^2)A_2 = 0 \newline | | (-2L\omega^2 + 2g)A_1 + (-l\omega^2)A_2 = 0 \newline |
| (-L\omega^2)A_1 + (-l\omega^2+g)A_2 = 0 | | (-L\omega^2)A_1 + (-l\omega^2+g)A_2 = 0 |
| \end{cases} | | \end{cases} |
| $$ | | $$ |
| Или в матричной форме: | | Или в матричной форме: |
| $$ | | $$ |
| \begin{pmatrix} | | \begin{pmatrix} |
| 2g-2L\omega^2 & -l\omega^2 \newline | | 2g-2L\omega^2 & -l\omega^2 \newline |
| -l\omega^2 & g - l\omega^2 | | -l\omega^2 & g - l\omega^2 |
| \end{pmatrix} | | \end{pmatrix} |
| \begin{pmatrix} | | \begin{pmatrix} |
| A_1 \newline | | A_1 \newline |
| A_2 | | A_2 |
| \end{pmatrix} = 0 | | \end{pmatrix} = 0 |
| $$ | | $$ |
| Из условия нетривиального решения, определитель первой матрицы равен нулю: | | Из условия нетривиального решения, определитель первой матрицы равен нулю: |
| $$ | | $$ |
| (2g-2L\omega^2)(g-l\omega^2) - (-l\omega^2)(-L\omega^2) = 0 \quad \Rightarrow \quad Ll\omega^4 - 2g(L+l)\omega^2 + 2g^2 = 0 | | (2g-2L\omega^2)(g-l\omega^2) - (-l\omega^2)(-L\omega^2) = 0 \quad \Rightarrow \quad Ll\omega^4 - 2g(L+l)\omega^2 + 2g^2 = 0 |
| $$ | | $$ |
| По теореме Виета: | | По теореме Виета: |
| $$ | | $$ |
| \omega_1^2\omega_2^2 = \frac{2g^2}{Ll} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{2g^2}{\omega_1^2\omega_2^2l} | | \omega_1^2\omega_2^2 = \frac{2g^2}{Ll} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{2g^2}{\omega_1^2\omega_2^2l} |
| $$ | | $$ |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$ | | $$ |
| \boxed{L = \frac{2g^2}{\omega_1^2\omega_2^2l}} | | \boxed{L = \frac{2g^2}{\omega_1^2\omega_2^2l}} |
| $$ | | $$ |
