Правка разделов «Решение», «Ответ»

Shrodinger_cat правка от 18 апр. 2026 г., 13:30

правка #17913 предыдущая #17901 ← раньше

ru/3.4.17.md +46 −0

			### Условие

			$3.4.17.$ Собственные частоты двойного маятника равны $ω_1$ и $ω_2$. Длина
			нити, связывающей шарики маятника, равна $l$. В состоянии равновесия нижнему
			шарику сообщили небольшую скорость $v$. Определите максимальное отклонение
			нижнего шарика от положения равновесия и длину нити, связывающей верхний
			шарик с потолком.

			![К задаче $3.4.17$\|284x234, 50%](../../img/3.4.17/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-04-14 225233.png)

			### Решение
			![К задаче $3.4.17$\|1152x457, 100%](../../img/3.4.17/Ð»Ð°Ð½Ð´Ð»Ð¸Ð²ÑÐ¸Ñ.png)

			Найдём уравнение движения. Запишем координаты шариков:
			$$
			\begin{cases}
			x_1 = L\sin{\theta_1} \newline
			y_1 = L\cos{\theta_1} \newline
			x_2 = L\sin{\theta_1} + l\sin{\theta_2} \newline
			y_2 = L\cos{\theta_1} + l\cos{\theta_2}
			\end{cases}
			$$
			Проекции скоростей на оси:
			$$
			\begin{cases}
			\dot{x_1} = L\dot{\theta_1}\cos{\theta_1} \newline
			\dot{y_1} = -L\dot{\theta_1}\sin{\theta_1} \newline
			\dot{x_2} = L\dot{\theta_1}\cos{\theta_1} + l\dot{\theta_2}\cos{\theta_2} \newline
			\dot{y_1} = -L\dot{\theta_1}\sin{\theta_1} - l\dot{\theta_2}\sin{\theta_2}
			\end{cases}
			$$
			Квадраты полных скоростей:
			$$
			\begin{cases}
			v_1^2 = L^2\dot{\theta_1}^2 \newline
			v_2^2 = L^2\dot{\theta_1}^2 + l^2\dot{\theta_2}^2 + 2Ll\theta_1\theta_2\cos{(\theta_1-\theta_2)}
			\end{cases}
			$$
			Запишем лагранжиан системы:
			$$
			\mathcal{L} = \frac{1}{2}m(v_1^2 + v_2^2) - mg(y_1 + y_2) = \frac{1}{2}m(2L^2\dot{\theta_1}^2 + l^2\dot{\theta_2}^2 + 2Ll\theta_1\theta_2\cos{(\theta_1-\theta_2)}) - mg(2L\cos{\theta_1} + l\cos{\theta_2})
			$$
			И воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа:
			$$
			\begin{cases}
			\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta_1}} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_1} = 0 \newline
			\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta_2}} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_2} = 0
			\end{cases}
			$$
			Откуда получаем систему уравнений движения при малых колебаниях:
			$$
			\begin{cases}
			2L\ddot{\theta_1} + l\ddot{\theta_2} + 2g\theta_1 = 0 \newline
			L\ddot{\theta_1} + l\ddot{\theta_2} + g\theta_2 = 0
			\end{cases}
			$$
			Или заменяя $\theta_j = A_je^{i\omega t}$:
			$$
			\begin{cases}
			(-2L\omega^2 + 2g)A_1 + (-l\omega^2)A_2 = 0 \newline
			(-L\omega^2)A_1 + (-l\omega^2+g)A_2 = 0
			\end{cases}
			$$
			Или в матричной форме:
			$$
			\begin{pmatrix}
			2g-2L\omega^2 & -l\omega^2 \newline
			-l\omega^2 & g - l\omega^2
			\end{pmatrix}
			\begin{pmatrix}
			A_1 \newline
			A_2
			\end{pmatrix} = 0
			$$
			Из условия нетривиального решения, определитель первой матрицы равен нулю:
			$$
			(2g-2L\omega^2)(g-l\omega^2) - (-l\omega^2)(-L\omega^2) = 0 \quad \Rightarrow \quad Ll\omega^4 - 2g(L+l)\omega^2 + 2g^2 = 0
			$$
			По теореме Виета:
		@@ -80,8 +80,54 @@Решение
			$$
			\omega_1^2\omega_2^2 = \frac{2g^2}{Ll} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{2g^2}{\omega_1^2\omega_2^2l}
			$$
		+	При малых смещениях:
		+	$$
		+	x = L\theta_1 + l\theta_2
		+	$$
		+	Начальные условия:
		+	$$
		+	\begin{cases}
		+	\theta_1(0) = 0 \newline
		+	\theta_2(0) = 0 \newline
		+	\dot{\theta_1}(0) = 0 \newline
		+	\dot{\theta_2}(0) = \frac{v}{l}
		+	\end{cases}
		+	$$
		+	Введём нормальные координаты:
		+	$$
		+	\begin{cases}
		+	\theta_1 = Q_1 + Q_2 \newline
		+	\theta_2 = k_1Q_1 + k_2Q_2
		+	\end{cases}
		+	$$
		+	где $k_i = \frac{\theta_2}{\theta_1}$. Из уравнений движкния:
		+	$$
		+	k_i = \frac{2(g-\omega_i^2L)}{\omega_i^2l} = \frac{\omega_i^2L}{g-\omega_i^2l}
		+	$$
		+	Производные нормальных координат в начальный момент времени:
		+	$$
		+	\begin{cases}
		+	\dot{Q_1} = \frac{v}{l(k_1 - k_2)} \newline
		+	\dot{Q_2} = -\frac{v}{l(k_1 - k_2)}
		+	\end{cases}
		+	$$
		+	Тогда:
		+	$$
		+	Q_i(t) = \frac{\dot{Q_i}}{\omega_i} \sin{(\omega_it)}
		+	$$
		+	Теперь выразим $x(t)$:
		+	$$
		+	x(t) = \frac{v}{l(\omega_2^2 - \omega_1^2)}(\frac{l\omega_2^2-g}{\omega_1}\sin{(\omega_1t)}-\frac{l\omega_1^2-g}{\omega_2}\sin{(\omega_2t)})
		+	$$
		+	Максимальное отклонение при: $\sin{(\omega_1t)} = 1$ и $\sin{(\omega_2t)} = -1$. Получаем:
		+	$$
		+	x_{max} = \frac{v}{l(\omega_2^2 - \omega_1^2)}(\frac{l\omega_2^2-g}{\omega_1}+\frac{l\omega_1^2-g}{\omega_2}) = \frac{v}{l}\cdot \frac{l(\omega_1^2 + \omega_1\omega_2 + \omega_2^2)-g}{\omega_1\omega_2(\omega_1 + \omega_2)}
		+	$$
			#### Ответ

			$$
			\boxed{L = \frac{2g^2}{\omega_1^2\omega_2^2l}}
		+	$$
		+	$$
		+	\boxed{x_{max} = \frac{v}{l}\cdot \frac{l(\omega_1^2 + \omega_1\omega_2 + \omega_2^2)-g}{\omega_1\omega_2(\omega_1 + \omega_2)}}
			$$

	### Условие		### Условие

	$3.4.17.$ Собственные частоты двойного маятника равны $ω_1$ и $ω_2$. Длина		$3.4.17.$ Собственные частоты двойного маятника равны $ω_1$ и $ω_2$. Длина
	нити, связывающей шарики маятника, равна $l$. В состоянии равновесия нижнему		нити, связывающей шарики маятника, равна $l$. В состоянии равновесия нижнему
	шарику сообщили небольшую скорость $v$. Определите максимальное отклонение		шарику сообщили небольшую скорость $v$. Определите максимальное отклонение
	нижнего шарика от положения равновесия и длину нити, связывающей верхний		нижнего шарика от положения равновесия и длину нити, связывающей верхний
	шарик с потолком.		шарик с потолком.

	![К задаче $3.4.17$\|284x234, 50%](../../img/3.4.17/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-04-14 225233.png)		![К задаче $3.4.17$\|284x234, 50%](../../img/3.4.17/Ð¡Ð½Ð¸Ð¼Ð¾Ðº ÑÐºÑÐ°Ð½Ð° 2026-04-14 225233.png)

	### Решение		### Решение
	![К задаче $3.4.17$\|1152x457, 100%](../../img/3.4.17/Ð»Ð°Ð½Ð´Ð»Ð¸Ð²ÑÐ¸Ñ.png)		![К задаче $3.4.17$\|1152x457, 100%](../../img/3.4.17/Ð»Ð°Ð½Ð´Ð»Ð¸Ð²ÑÐ¸Ñ.png)

	Найдём уравнение движения. Запишем координаты шариков:		Найдём уравнение движения. Запишем координаты шариков:
	$$		$$
	\begin{cases}		\begin{cases}
	x_1 = L\sin{\theta_1} \newline		x_1 = L\sin{\theta_1} \newline
	y_1 = L\cos{\theta_1} \newline		y_1 = L\cos{\theta_1} \newline
	x_2 = L\sin{\theta_1} + l\sin{\theta_2} \newline		x_2 = L\sin{\theta_1} + l\sin{\theta_2} \newline
	y_2 = L\cos{\theta_1} + l\cos{\theta_2}		y_2 = L\cos{\theta_1} + l\cos{\theta_2}
	\end{cases}		\end{cases}
	$$		$$
	Проекции скоростей на оси:		Проекции скоростей на оси:
	$$		$$
	\begin{cases}		\begin{cases}
	\dot{x_1} = L\dot{\theta_1}\cos{\theta_1} \newline		\dot{x_1} = L\dot{\theta_1}\cos{\theta_1} \newline
	\dot{y_1} = -L\dot{\theta_1}\sin{\theta_1} \newline		\dot{y_1} = -L\dot{\theta_1}\sin{\theta_1} \newline
	\dot{x_2} = L\dot{\theta_1}\cos{\theta_1} + l\dot{\theta_2}\cos{\theta_2} \newline		\dot{x_2} = L\dot{\theta_1}\cos{\theta_1} + l\dot{\theta_2}\cos{\theta_2} \newline
	\dot{y_1} = -L\dot{\theta_1}\sin{\theta_1} - l\dot{\theta_2}\sin{\theta_2}		\dot{y_1} = -L\dot{\theta_1}\sin{\theta_1} - l\dot{\theta_2}\sin{\theta_2}
	\end{cases}		\end{cases}
	$$		$$
	Квадраты полных скоростей:		Квадраты полных скоростей:
	$$		$$
	\begin{cases}		\begin{cases}
	v_1^2 = L^2\dot{\theta_1}^2 \newline		v_1^2 = L^2\dot{\theta_1}^2 \newline
	v_2^2 = L^2\dot{\theta_1}^2 + l^2\dot{\theta_2}^2 + 2Ll\theta_1\theta_2\cos{(\theta_1-\theta_2)}		v_2^2 = L^2\dot{\theta_1}^2 + l^2\dot{\theta_2}^2 + 2Ll\theta_1\theta_2\cos{(\theta_1-\theta_2)}
	\end{cases}		\end{cases}
	$$		$$
	Запишем лагранжиан системы:		Запишем лагранжиан системы:
	$$		$$
	\mathcal{L} = \frac{1}{2}m(v_1^2 + v_2^2) - mg(y_1 + y_2) = \frac{1}{2}m(2L^2\dot{\theta_1}^2 + l^2\dot{\theta_2}^2 + 2Ll\theta_1\theta_2\cos{(\theta_1-\theta_2)}) - mg(2L\cos{\theta_1} + l\cos{\theta_2})		\mathcal{L} = \frac{1}{2}m(v_1^2 + v_2^2) - mg(y_1 + y_2) = \frac{1}{2}m(2L^2\dot{\theta_1}^2 + l^2\dot{\theta_2}^2 + 2Ll\theta_1\theta_2\cos{(\theta_1-\theta_2)}) - mg(2L\cos{\theta_1} + l\cos{\theta_2})
	$$		$$
	И воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа:		И воспользуемся уравнением Эйлера-Лагранжа:
	$$		$$
	\begin{cases}		\begin{cases}
	\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta_1}} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_1} = 0 \newline		\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta_1}} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_1} = 0 \newline
	\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta_2}} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_2} = 0		\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta_2}} - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta_2} = 0
	\end{cases}		\end{cases}
	$$		$$
	Откуда получаем систему уравнений движения при малых колебаниях:		Откуда получаем систему уравнений движения при малых колебаниях:
	$$		$$
	\begin{cases}		\begin{cases}
	2L\ddot{\theta_1} + l\ddot{\theta_2} + 2g\theta_1 = 0 \newline		2L\ddot{\theta_1} + l\ddot{\theta_2} + 2g\theta_1 = 0 \newline
	L\ddot{\theta_1} + l\ddot{\theta_2} + g\theta_2 = 0		L\ddot{\theta_1} + l\ddot{\theta_2} + g\theta_2 = 0
	\end{cases}		\end{cases}
	$$		$$
	Или заменяя $\theta_j = A_je^{i\omega t}$:		Или заменяя $\theta_j = A_je^{i\omega t}$:
	$$		$$
	\begin{cases}		\begin{cases}
	(-2L\omega^2 + 2g)A_1 + (-l\omega^2)A_2 = 0 \newline		(-2L\omega^2 + 2g)A_1 + (-l\omega^2)A_2 = 0 \newline
	(-L\omega^2)A_1 + (-l\omega^2+g)A_2 = 0		(-L\omega^2)A_1 + (-l\omega^2+g)A_2 = 0
	\end{cases}		\end{cases}
	$$		$$
	Или в матричной форме:		Или в матричной форме:
	$$		$$
	\begin{pmatrix}		\begin{pmatrix}
	2g-2L\omega^2 & -l\omega^2 \newline		2g-2L\omega^2 & -l\omega^2 \newline
	-l\omega^2 & g - l\omega^2		-l\omega^2 & g - l\omega^2
	\end{pmatrix}		\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}		\begin{pmatrix}
	A_1 \newline		A_1 \newline
	A_2		A_2
	\end{pmatrix} = 0		\end{pmatrix} = 0
	$$		$$
	Из условия нетривиального решения, определитель первой матрицы равен нулю:		Из условия нетривиального решения, определитель первой матрицы равен нулю:
	$$		$$
	(2g-2L\omega^2)(g-l\omega^2) - (-l\omega^2)(-L\omega^2) = 0 \quad \Rightarrow \quad Ll\omega^4 - 2g(L+l)\omega^2 + 2g^2 = 0		(2g-2L\omega^2)(g-l\omega^2) - (-l\omega^2)(-L\omega^2) = 0 \quad \Rightarrow \quad Ll\omega^4 - 2g(L+l)\omega^2 + 2g^2 = 0
	$$		$$
	По теореме Виета:		По теореме Виета:
	@@ -80,8 +80,54 @@Решение
	$$		$$
	\omega_1^2\omega_2^2 = \frac{2g^2}{Ll} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{2g^2}{\omega_1^2\omega_2^2l}		\omega_1^2\omega_2^2 = \frac{2g^2}{Ll} \quad \Rightarrow \quad L = \frac{2g^2}{\omega_1^2\omega_2^2l}
	$$		$$
			При малых смещениях:
			$$
			x = L\theta_1 + l\theta_2
			$$
			Начальные условия:
			$$
			\begin{cases}
			\theta_1(0) = 0 \newline
			\theta_2(0) = 0 \newline
			\dot{\theta_1}(0) = 0 \newline
			\dot{\theta_2}(0) = \frac{v}{l}
			\end{cases}
			$$
			Введём нормальные координаты:
			$$
			\begin{cases}
			\theta_1 = Q_1 + Q_2 \newline
			\theta_2 = k_1Q_1 + k_2Q_2
			\end{cases}
			$$
			где $k_i = \frac{\theta_2}{\theta_1}$. Из уравнений движкния:
			$$
			k_i = \frac{2(g-\omega_i^2L)}{\omega_i^2l} = \frac{\omega_i^2L}{g-\omega_i^2l}
			$$
			Производные нормальных координат в начальный момент времени:
			$$
			\begin{cases}
			\dot{Q_1} = \frac{v}{l(k_1 - k_2)} \newline
			\dot{Q_2} = -\frac{v}{l(k_1 - k_2)}
			\end{cases}
			$$
			Тогда:
			$$
			Q_i(t) = \frac{\dot{Q_i}}{\omega_i} \sin{(\omega_it)}
			$$
			Теперь выразим $x(t)$:
			$$
			x(t) = \frac{v}{l(\omega_2^2 - \omega_1^2)}(\frac{l\omega_2^2-g}{\omega_1}\sin{(\omega_1t)}-\frac{l\omega_1^2-g}{\omega_2}\sin{(\omega_2t)})
			$$
			Максимальное отклонение при: $\sin{(\omega_1t)} = 1$ и $\sin{(\omega_2t)} = -1$. Получаем:
			$$
			x_{max} = \frac{v}{l(\omega_2^2 - \omega_1^2)}(\frac{l\omega_2^2-g}{\omega_1}+\frac{l\omega_1^2-g}{\omega_2}) = \frac{v}{l}\cdot \frac{l(\omega_1^2 + \omega_1\omega_2 + \omega_2^2)-g}{\omega_1\omega_2(\omega_1 + \omega_2)}
			$$
	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	\boxed{L = \frac{2g^2}{\omega_1^2\omega_2^2l}}		\boxed{L = \frac{2g^2}{\omega_1^2\omega_2^2l}}
			$$
			$$
			\boxed{x_{max} = \frac{v}{l}\cdot \frac{l(\omega_1^2 + \omega_1\omega_2 + \omega_2^2)-g}{\omega_1\omega_2(\omega_1 + \omega_2)}}
	$$		$$