Решение

Диэлектрик ослабляет электрическое поле в середине конденсатора в $\varepsilon$ раз. По теореме Гаусса:

$$E=\frac{\sigma}{\varepsilon\varepsilon_{0}}=\frac{q}{\varepsilon\varepsilon_{0}S}$$

Поскольку поле в плоском конденсаторе однородное, разница потенциалов:

$$\varphi_{2}-\varphi_{1}=E\cdot d=\frac{qd}{\varepsilon\varepsilon_{0}S}$$

По определению ёмкость:

$$C=\frac{q}{\varphi_{2}-\varphi_{1}}=\frac{q}{\frac{qd}{\varepsilon\varepsilon_{0}S}}=\frac{\varepsilon\varepsilon_{0}S}{d}=\varepsilon\cdot C_{0}$$

где $C_{0}$ - ёмкость конденсатора без диэлектрика.