Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от
Посмотреть решение История
правка #17939 предыдущая #17938 ← раньше
ru/4.3.14.md +57 −3
@@ -1,11 +1,65 @@
### Условие
−$4.3.14.$ [Вставьте условие задачи]
+$4.3.14.$ Две широкие металлические пластины, расположенные под углом $2\alpha$ друг к другу, движутся со скоростью $\upsilon$ по нормали к своей поверхности. Найдите скорость струй, возникающих при столкновении пластин, рассматривая движение металла как движение идеальной жидкости.
+![К задаче $4.3.14$|235x264, 35%](../../img/4.3.14/4.3.14.png)
+
### Решение
−asd
+Обозначим скорость точки пересечения пластин (вершины клина) в лабораторной системе через $V_{к}$. Эта точка движется вдоль оси симметрии системы.
+![|682x456, 40%](../../img/4.3.14/4.3.14_3.jpeg)
+
+Для каждой пластины нормальная составляющая скорости точки контакта должна совпадать со скоростью пластины $\upsilon$. Из прямоугольного треугольника скоростей имеем:
+
+$$V_{к}=\frac{\upsilon}{\sin\alpha} \tag{1}$$
+
+Перейдём в систему отсчёта, движущуюся вместе с точкой контакта. В этой системе пластины неподвижны, а металл «натекает» на вершину клина. Скорость "натекания" найду из того же треугольника скоростей:
+
+$$u=V_{к}\cos\alpha \tag{2}$$
+
+С учётом (1) имеем:
+
+$$u=\frac{\upsilon}{\sin\alpha}\cdot\cos\alpha=\upsilon\cot\alpha \tag{3}$$
+
+Рассмотрим стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости. Вдали от области взаимодействия давление в струях равно внешнему давлению, так же как и на свободной поверхности потока.
+
+В системе отсчёта точки контакта уравнение Бернулли вдоль линии тока:
+
+$$\frac{u^{2}}{2}+\frac{P}{\rho}=\frac{u^{'2}}{2}+\frac{P}{\rho}$$
+
+где $u^{'}$ - скорость струй относительно точки контакта.
+
+Давление одинаково, тогда:
+
+$$\left| \vec u^{'} \right|=\left| \vec u \right|$$
+
+Модули скоростей струй в данной системе отсчёта сохраняются, изменяется только их направление. В силу симметрии задачи струи направлены вдоль оси симметрии клина. При этом образуются две струи: передняя (по направлению движения точки контакта) и обратная (в противоположную сторону).
+
+![|231x211, 35%](../../img/4.3.14/4.3.14_1.png)
+
+В системе контакта их скорости равны $+u$ и $-u$.
+
+Перейдём обратно в лабораторную систему, добавляя скорость переноса $V_{к}$, найдём скорости струй. Для передней струи:
+
+$$\upsilon_{2}=V_{к}+u=\frac{\upsilon}{\sin\alpha}+\upsilon\cot\alpha=\upsilon\cdot\frac{1+\cos\alpha}{\sin\alpha} \tag{4}$$
+
+Используя тригонометрические тождества: $1+\cos\alpha=2\cos^{2}\left( \frac{\alpha}{2} \right)$ и $\sin\alpha=2\sin\left( \frac{\alpha}{2} \right)\cos\left( \frac{\alpha}{2} \right)$, получим:
+
+$$\upsilon_{2}=\upsilon\cdot\frac{2\cos^{2}\left( \frac{\alpha}{2} \right)}{2\sin\left( \frac{\alpha}{2} \right)\cos\left( \frac{\alpha}{2} \right)}=\upsilon\cot\left( \frac{\alpha}{2} \right) \tag{5}$$
+
+Для обратной струи:
+
+$$\upsilon_{1}=V_{к}-u=\frac{\upsilon}{\sin\alpha}-\upsilon\cot\alpha=\upsilon\cdot\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} \tag{6}$$
+
+Используя тригонометрическое тождество $1-\cos\alpha=2\sin^{2}\left( \frac{\alpha}{2} \right)$, получим:
+
+$$\upsilon_{1}=\upsilon\cdot\frac{2\sin^{2}\left( \frac{\alpha}{2} \right)}{2\sin\left( \frac{\alpha}{2} \right)\cos\left( \frac{\alpha}{2} \right)}=\upsilon\tan\left( \frac{\alpha}{2} \right) \tag{7}$$
+
+![|210x207, 35%](../../img/4.3.14/4.3.14_2.png)
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\upsilon_{1}=\upsilon\tan\left( \frac{\alpha}{2} \right)$$
+$$\upsilon_{2}=\upsilon\cot\left( \frac{\alpha}{2} \right)$$