Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от
Посмотреть решение История
правка #18011 предыдущая #18010 ← раньше позже →
ru/3.6.12.md +50 −3
@@ -1,11 +1,58 @@
### Условие
−$3.6.12.$ [Вставьте условие задачи]
+$3.6.12.$ При действии продольных сил, растягивающих или сжимающих упругое тело, изменяются не
+только его продольные, но и поперечные размеры. Рассмотрите модель ячейки кристалла, в которой связи атомов представлены пружинами. Жесткость диагональных пружин $k$, остальных — $k_{0}$. Определите отношение сжатия поперечных пружин к удлинению продольных при малых деформациях.
+![К задаче $3.6.12$|159x110, 50%](../../img/3.6.12/3.6.12.png)
+
### Решение
−asd
+Для решения задачи буду использовать энергетический подход. Пусть исходная ячейка представляет собой квадрат со стороной $a$. При растяжении ячейки вдоль горизонтальной оси её длина увеличивается на величину удлинения продольных пружин $\Delta x$. При этом в поперечном направлении ячейка сжимается, уменьшая свою высоту на величину сжатия поперечных пружин $\Delta y$.
+Исходная длина диагонали равна $d_{0}=a\sqrt{2}$. Новая длина диагонали $d$ после деформации составляет:
+
+$$d=\sqrt{(a+\Delta x)^{2}+(a-\Delta y)^{2}}=\sqrt{a^{2}+2a\Delta x+(\Delta x)^{2}+a^{2}-2a\Delta y+(\Delta y)^{2}}$$
+
+Учитывая, что деформации малы $\Delta x \ll a$ и $\Delta y \ll a$, пренебрежём квадратичными членами:
+
+$$d\approx\sqrt{2a^{2}+2a(\Delta x-\Delta y)}=a\sqrt{2}\cdot\sqrt{1+\frac{\Delta x-\Delta y}{a}}$$
+
+Используя формулу $\sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\frac{\varepsilon}{2}$:
+
+$$d\approx a\sqrt{2}\left(1+\frac{\Delta x-\Delta y}{2a}\right)=a\sqrt{2}+\frac{\Delta x-\Delta y}{\sqrt{2}}$$
+
+Следовательно, удлинение каждой диагональной пружины равно:
+
+$$\Delta d=d-d_0=\frac{\Delta x-\Delta y}{\sqrt{2}}$$
+
+Полная потенциальная энергия упругой деформации ячейки состоит из энергии двух продольных, двух поперечных и двух диагональных пружин:
+
+$$E=2\cdot\frac{k_{0}(\Delta x)^{2}}{2}+2\cdot\frac{k_{0}(\Delta y)^{2}}{2}+2\cdot\frac{k (\Delta d)^{2}}{2}$$
+$$E=k_{0}(\Delta x)^{2}+k_{0}(\Delta y)^{2}+k\left(\frac{\Delta x-\Delta y}{\sqrt{2}}\right)^{2}=k_{0}(\Delta x)^{2}+k_{0}(\Delta y)^{2}+\frac{k}{2}(\Delta x-\Delta y)^{2}$$
+
+По вертикали внешних сил нет, значит при фиксированном $\Delta x$:
+
+$$\frac{\partial E}{\partial (\Delta y)}=0$$
+
+То есть система принимает такую поперечную деформацию $\Delta y$, при которой её потенциальная энергия минимальна. Возьмем производную:
+
+$$\frac{\partial E}{\partial (\Delta y)}=2k_{0}\Delta y+\frac{k}{2}\cdot 2(\Delta x-\Delta y) \cdot (-1)=0$$
+$$2k_{0}\Delta y-k(\Delta x-\Delta y)=0$$
+
+Отсюда:
+
+$$\Delta y(2k_{0}+k)=k\Delta x$$
+
+Окончательно:
+
+$$\nu=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{k}{k+2k_{0}}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\nu=\frac{k}{k+2k_{0}}$$
+
+### Альтернативное решение
+
+Для тех, кто любит решать через силы:
+
+![|461x640, 90%](../../img/3.6.12/3.6.12_1.JPG)