Решение

Нам интересен только тот факт, что пылинка движется в однородном поле, перпендикулярном ускорению свободного падения. Найдем это поле:

$$E=\frac{U}{d}$$

На пылинку действует сонаправленная с полем сила Кулона, причем эта сила постоянна:

$$F_L=qE$$

Казалось бы, имеем простое равноускоренное приближение к пластинке конденсатора, но вспомним о сопротивлении воздуха и добавим его в уравнение движения.

Пусть $F_d=\beta v_x \$ (считая ось $x$ сонаправленной полю, $y$ - ускорению свободного падения ). Тогда уравенния $II$ закона Ньютона по осям

$$mg-\beta v_y=0$$

$$m\frac{dv_x}{dt}=qE-\beta v_x$$

Зная граничные условия ($x(0)=0$, $x(t_1)=\frac{d}{2}$) нетрудно решить второй дифур, получив $\beta$ из первого уравнения:

$$m\int_0^{v_x} \frac{dv_x}{qE-\beta v_x}=\int_0^t dt$$

$$\int_0^{d/2}dx=\frac{d}{2}=\int_0^{t_1}v_xdt$$

Расчет интегралов чисто технический, поэтому оставлю его вам. Должно получится:

$$\beta=\frac{mg}{v_y}$$

$$v_x(t)=\frac{Eq}{\beta}\left(1- e^{-\frac{\beta}{m}t} \right)$$

$$\frac{d}{2}=\frac{Eq}{\beta}\left(t_1+\frac{m}{\beta}e^{-\beta t_1} -\frac{m}{\beta} \right)$$

Из чего нетрудно выразить заряд:

$$q=\frac{m}{2U}\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2\left(\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1\right)^{-1}$$

В этой конкретной задаче чтобы не запутаться лучше разбить выражения на действия, и получить что то такое (размерности не указываю для экономии места):

$$\frac{g}{v_y}t_1 = 9.8 \cdot 10^{4}=a$$

Это очень большое число, значит, можно считать что

$$\frac{g}{v_y}t_1+e^{-\frac{g}{v_y}t_1}-1 \approx\frac{g}{v_y}t_1-1\approx a$$

$$\frac{m}{2U} \approx \frac{10^{-14}}{9.8}$$

$$\left(\frac{gd}{v_y}\right)^2=10^{4}\cdot 9.8^2=9.8 \cdot a$$

$$q=10^{−14} \ \text{Кл}$$

$No:$

• так как мы не знаем, как было подключено напряжение и к какой пластине полетел заряд, возможно определить только его модуль, но не знак
• У Савченко ошибка/опечатка в ответе
• можно показать, что для получения такого ответа достаточно сразу пренебречь сопротивлением воздуха и считать движение равноускоренным. Но учитывая постановку задачи это требует аккуратного обоснования и оценки. Тут погрешность наших приближений составит $\varepsilon\approx 0.001 \%$ (вычислено с помощью Wolfram, обычный калькулятор может и не справиться)