Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

jzmicer правка от
Посмотреть решение История
правка #18079 предыдущая #18078 ← раньше позже →
ru/11.3.6.md +50 −6
@@ -1,13 +1,57 @@
### Условие
−$11.3.6.$ [Вставьте условие задачи]
+$11.3.6^*.$ Внутренний радиус обмотки длинного соленоида $r_1 = 0.05$ м, внешний радиус $r_2 = 0.1$ м, число витков на единицу длины соленоида $n = 10 000$.
+Определите индуктивность единицы длины соленоида.
### Решение
+Известно, что при прохождении через обладающий индуктивностью (на единицу длины!!!) $L$ запасает энергию магнитного поля
+$$
+\frac{dW}{dl}=\frac{I^2L}{2}
+$$
+Объёмная плотность этой энергии равна
+$$
+w=\frac{dW}{dV}=\frac{B^2}{2\mu_0}
+$$
+Теперь рассмотрим кусок соленоида длиной . Важно вспомнить, что формула поля внутри катушки $B=\mu_0 nI$ верна только для тонкого соленоида, а мы, видимо, имеем дело с многовитковой катушкой (думаю, условие необходимо уточнить).
+Предположим, что ток равномерно распределен по обмотке. Очевидно, что в некой точке на расстоянии $r$ от оси соленоида поле создается только внешними относительно этой точки витками (если это непонятно, стоит вернуться к задаче о поле тонкого соленоида). Тогда магнитное поле
−Внутренний радиус обмотки длинного соленоида $r_1 = 0.05$ м, внеш-
−ний радиус $r_2 = 0.1$ м, число витков на единицу длины соленоида $n = 10 000$.
−Определите индуктивность единицы длины соленоида.
−#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$ B(r) = \mu_0 n I, \quad \text{при } 0 \le r \le r_1 $$
+
+$$ B(r) = \mu_0 n I \frac{r_2 - r}{r_2 - r_1}, \quad \text{при } r_1 \le r \le r_2 $$
+
+$$ B(r) = 0, \quad \text{при } r \ge r_2 $$
+Исходя из всего этого, запишем
+$$
+\frac{I^2L'}{2}=\int \frac{B^2}{2\mu_0} dS
+$$
+Здесь $dS = 2\pi r dr$ — площадь кольцевого элемента сечения. Дальше дело техники: вынесем константы, разделим обе части на $\frac{I^2}{2}$ и проинтегрируем по 2-м областям
+
+$$ L' = 2\mu_0 \pi n^2 \left[ \int_0^{r_1} r dr + \frac{1}{(r_2 - r_1)^2} \int_{r_1}^{r_2} (r_2 - r)^2 r dr \right] $$
+
+
+Вычисляя интегралы, получаем:
+
+$$ \int_0^{r_1} r dr = \frac{r_1^2}{2} $$
+
+$$ \int_{r_1}^{r_2} \frac{(r_2 - r)^2}{(r_2 - r_1)^2} r dr = \frac{r_2(r_2 - r_1)}{3} - \frac{(r_2 - r_1)^2}{4} $$
+
+$$
+L' = \mu_0 \pi n^2 \left( r_1^2 + \frac{(r_2 - r_1)(r_2 + 3r_1)}{6} \right)
+$$
+$$
+L' \approx 1.81 \text{ Гн/м}
+$$
+
+
+
+
+$No:$
+
+Ответ у Савченко неверен. Ответ как в задачнике получается при условии, что магнитное поле во всем объеме соленоида одинаково и равно максимальному $B=\mu_0 nI$.
+#### Ответ
+$$
+\boxed{
+L' \approx 1.81 \text{ Гн/м} }
+$$