Правка раздела «Условие»

astrosander правка от 23 мая 2026 г., 10:41

правка #18124 предыдущая #18119 ← раньше позже →

ru/5.6.26.md +2 −2

		@@ -1,7 +1,7 @@
			### Условие

		−	$5.6.26.$
		−	![\|1322x288, 60%](../../img/5.6.26/5_6_26_problem_statement_1.png)
		+	$5.6.26^*.$ Горизонтально расположенный цилиндр, содержащий 1 моль газа при начальной температуре $T_{0}$ и давлении $P_{0}$, закрыт поршнем сечения $S$. Справа от поршня постоянное атмосферное давление $P_{0}$. Газ нагревается спиралью. При движении поршня на него действует сила трения $F$ со стороны стенок цилиндра. Половина тепла, выделяющегося при трении поршня о стенки цилиндра, идёт в газ. Внутренняя энергия газа $U = cT$. Как зависит температура газа от количества теплоты, переданной газу спиралью? Постройте график этой зависимости.
		+
			![For problem $5.6.26$\|522x312, 50%](../../img/5.6.26/5_6_26_problem_statement_2.png)


			### Решение



			По мере нагревания газа сначала будет расти давление при постоянном объеме, так как чтобы сдвинуть поршень, нужно преодолеть силу трения. Тогда зависимость температуры от Q будет разной, в зависимости от того, начал поршень движение или нет. Будем считать, что зависимость имеет один вид, пока $Q \le Q_1$, и другой вид, когда $Q \ge Q_1$.

			#### Первый участок

			Рассмотрим силы, действующие на поршень.

			$$\vec{F}_{газа} + \vec{F}_{трения} + \vec{F}_{атм} = 0$$

			Это же равенство сохранится при равномерном движении поршня. Для того, чтобы поршень начал движение, необходимо, чтобы сила давления газа преодолела силу давления атмосферы и максимальную силу трения покоя. Тогда, спроецировав силы на горизонтальную ось, получим:

			$$F_{газа} = F_{трения} + F_{атм} $$

			$$ pS = F + p_0 S $$

			$$ p = p_0 + \frac{F}{S} $$

			Это давление, необходимое для начала движения поршня.

			В ходе начального нагревания газа до указанного давления верно следующее (так как процесс изохорный):

			$$ \frac{p_0}{T_0} = \frac{p}{T} $$

			Тогда можно найти температуру начала движения поршня:

			$$ T = T_0 \frac{p}{p_0} = T_0 \frac{p_0 + \frac{F}{S}}{p_0} = T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right)$$

			Так как вначале процесс изохорный, работа в нём не совершается. По первому закону термодинамики:

			$$ Q = A' + \Delta U = \Delta U $$

			Зная зависимость внутренней энергии газа от температуры $U = cT$:

			$$ Q = \Delta U = U_1 - U_0 = cT - cT_0 $$

			Окончательно:

			$$T = T_0 + \frac{Q}{c}, \quad Q\le Q_1$$

			Здесь Q_1 - количество теплоты, переданное газу до начала движения поршня:

			$$Q_1 = c(T - T_0) = c\left(T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) - T_0\right) = \frac{cT_0F}{p_0S}$$

			#### Второй участок

			На этом участке поршень движется. Сила трения во время движения постоянна, сила давления атмосферы также постоянна, а значит сила давления газа тоже постоянна. Следовательно процесс изобарный и давление в нём:

			$$ p = p_0 + \frac{F}{S} $$

			Количество теплоты, переданное газу от спирали складывается из двух частей - переданного до начала движения поршня Q1 и переданного после этого Q2:

			$$Q = Q_1 + Q_2$$

			Известно, что половина тепла, выделяющегося при трении поршня о стенки возвращается в газ, тогда первый закон термодинамики будет выглядеть так:

			$$Q_2 + Q_{тр} = A' + \Delta U$$


			Рассмотрим работу трения на перемещении поршня $x$:

			$$ A_{тр} = F x $$

			Изменение объема газа на этом перемещении:

			$$ \Delta V = xS $$

			А с другой стороны из уравнения Менделеева-Клапейрона для идеального газа:

			$$ \Delta V = \frac{\nu R \Delta T}{p} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}}$$

			Тогда перемещение поршня можно выразить следующим образом:

			$$ x = \frac{\Delta V}{S} = \frac{1}{S} \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$

			И тогда работа трения:

			$$A_{тр} = F \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$

			Половина этой энергии возвращается в газ:

			$$Q_{тр} = \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)}$$

			Работа газа в изобарном процессе:

			$$ A' = p \Delta V = \nu R \Delta T$$

			Изменение внутренней энергии газа, как уже было показано выше:

			$$ \Delta U = c \Delta T $$

			Запишем первый закон термодинамики, подставив в него полученные выражения для количества теплоты от работы трения, передаваемого газу, работы газа, а также изменение внутренней энергии газа:

			$$ Q_2 + \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)} = \nu R \Delta T + c \Delta T $$

			Преобразуем:

			$$Q_2 = \Delta T \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right) $$

			Изменение температуры отсчитываем с момента начала движения поршня:

			$$ \Delta T = T - T_1 = T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) $$

			Количество теплоты, переданное газу после начала движения поршня от спирали:

			$$ Q_2 = Q - Q_1 = Q - \frac{cT_0F}{p_0S} $$

			Получаем:

			$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \left(T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) \right) \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right)$$

			$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \left(T - T_0 - \frac{T_0 F}{p_0S} \right) \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right)$$

			Раскроем скобки:

			$$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \nu R T - \nu R T_0 - \frac{\nu R T_0 F}{p_0S} + cT - cT_0 -\frac{cT_0F}{p_0S} - \frac{T F \nu R}{2(p_0 S + F)} + \frac{T_0 F \nu R}{2(p_0 S + F)} + \frac{T_0 F^2 \nu R}{2p_0S(p_0 S + F)}$$

			Сократим подобные:

			$$ Q=\nu RT-\nu RT_0-\frac{\nu RT_0F}{p_0S}+cT-cT_0-\frac{TF\nu R}{2(p_0S+F)}+\frac{T_0F\nu R}{2(p_0S+F)}+\frac{T_0F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}$$

			Соберем множители при $T$ и $T_0$:

			$$ Q=T \left(\nu R + c - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\right) - T_0\left( \nu R + c + \frac{\nu RF}{p_0S} - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)} - \frac{F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}\right) $$

			Преобразуем два последних слагаемых в последней скобке:

			$$-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}-\frac{F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}=-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\left(1+\frac{F}{p_0S}\right) = $$

			$$=-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\cdot\frac{p_0S+F}{p_0S}=-\frac{F\nu R}{2p_0S}$$

			Тогда вся скобка:

			$$\nu R+c+\frac{\nu RF}{p_0S}-\frac{F\nu R}{2p_0S} = \nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}$$

			И выражение теперь выглядит так:

			$$ Q=T \left(\nu R + c - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\right) - T_0\left( \nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}\right) $$

			Тогда, выражая $T$:

			$$T=\frac{Q+T_0\left(\nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}\right)}{\nu R+c-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}}$$

			Подставив $\nu = 1$ получаем ответ для $Q \ge Q_1$

			$$T=\frac{Q+T_0\left(R+c+\frac{RF}{2p_0S}\right)}{R+c-\frac{FR}{2(p_0S+F)}}$$

			#### Ответ


			$$T=\left[\begin{array}{ll}T_0+\dfrac{Q}{c}, & Q\le Q_1, \\\ \dfrac{Q+T_0\left(R+c+\dfrac{RF}{2p_0S}\right)}{R+c-\dfrac{FR}{2(p_0S+F)}}, & Q\ge Q_1.\end{array}\right]$$
		ещё строк без изменений 153