| | | |
| По мере нагревания газа сначала будет расти давление при постоянном объеме, так как чтобы сдвинуть поршень, нужно преодолеть силу трения. Тогда зависимость температуры от Q будет разной, в зависимости от того, начал поршень движение или нет. Будем считать, что зависимость имеет один вид, пока $Q \le Q_1$, и другой вид, когда $Q \ge Q_1$. | | По мере нагревания газа сначала будет расти давление при постоянном объеме, так как чтобы сдвинуть поршень, нужно преодолеть силу трения. Тогда зависимость температуры от Q будет разной, в зависимости от того, начал поршень движение или нет. Будем считать, что зависимость имеет один вид, пока $Q \le Q_1$, и другой вид, когда $Q \ge Q_1$. |
| | | |
| #### Первый участок | | #### Первый участок |
| | | |
| Рассмотрим силы, действующие на поршень. | | Рассмотрим силы, действующие на поршень. |
| | | |
| $$\vec{F}_{газа} + \vec{F}_{трения} + \vec{F}_{атм} = 0$$ | | $$\vec{F}_{газа} + \vec{F}_{трения} + \vec{F}_{атм} = 0$$ |
| | | |
| Это же равенство сохранится при равномерном движении поршня. Для того, чтобы поршень начал движение, необходимо, чтобы сила давления газа преодолела силу давления атмосферы и максимальную силу трения покоя. Тогда, спроецировав силы на горизонтальную ось, получим: | | Это же равенство сохранится при равномерном движении поршня. Для того, чтобы поршень начал движение, необходимо, чтобы сила давления газа преодолела силу давления атмосферы и максимальную силу трения покоя. Тогда, спроецировав силы на горизонтальную ось, получим: |
| | | |
| $$F_{газа} = F_{трения} + F_{атм} $$ | | $$F_{газа} = F_{трения} + F_{атм} $$ |
| | | |
| $$ pS = F + p_0 S $$ | | $$ pS = F + p_0 S $$ |
| | | |
| $$ p = p_0 + \frac{F}{S} $$ | | $$ p = p_0 + \frac{F}{S} $$ |
| | | |
| Это давление, необходимое для начала движения поршня. | | Это давление, необходимое для начала движения поршня. |
| | | |
| В ходе начального нагревания газа до указанного давления верно следующее (так как процесс изохорный): | | В ходе начального нагревания газа до указанного давления верно следующее (так как процесс изохорный): |
| | | |
| $$ \frac{p_0}{T_0} = \frac{p}{T} $$ | | $$ \frac{p_0}{T_0} = \frac{p}{T} $$ |
| | | |
| Тогда можно найти температуру начала движения поршня: | | Тогда можно найти температуру начала движения поршня: |
| | | |
| $$ T = T_0 \frac{p}{p_0} = T_0 \frac{p_0 + \frac{F}{S}}{p_0} = T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right)$$ | | $$ T = T_0 \frac{p}{p_0} = T_0 \frac{p_0 + \frac{F}{S}}{p_0} = T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right)$$ |
| | | |
| Так как вначале процесс изохорный, работа в нём не совершается. По первому закону термодинамики: | | Так как вначале процесс изохорный, работа в нём не совершается. По первому закону термодинамики: |
| | | |
| $$ Q = A' + \Delta U = \Delta U $$ | | $$ Q = A' + \Delta U = \Delta U $$ |
| | | |
| Зная зависимость внутренней энергии газа от температуры $U = cT$: | | Зная зависимость внутренней энергии газа от температуры $U = cT$: |
| | | |
| $$ Q = \Delta U = U_1 - U_0 = cT - cT_0 $$ | | $$ Q = \Delta U = U_1 - U_0 = cT - cT_0 $$ |
| | | |
| Окончательно: | | Окончательно: |
| | | |
| $$T = T_0 + \frac{Q}{c}, \quad Q\le Q_1$$ | | $$T = T_0 + \frac{Q}{c}, \quad Q\le Q_1$$ |
| | | |
| Здесь Q_1 - количество теплоты, переданное газу до начала движения поршня: | | Здесь Q_1 - количество теплоты, переданное газу до начала движения поршня: |
| | | |
| $$Q_1 = c(T - T_0) = c\left(T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) - T_0\right) = \frac{cT_0F}{p_0S}$$ | | $$Q_1 = c(T - T_0) = c\left(T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) - T_0\right) = \frac{cT_0F}{p_0S}$$ |
| | | |
| #### Второй участок | | #### Второй участок |
| | | |
| На этом участке поршень движется. Сила трения во время движения постоянна, сила давления атмосферы также постоянна, а значит сила давления газа тоже постоянна. Следовательно процесс изобарный и давление в нём: | | На этом участке поршень движется. Сила трения во время движения постоянна, сила давления атмосферы также постоянна, а значит сила давления газа тоже постоянна. Следовательно процесс изобарный и давление в нём: |
| | | |
| $$ p = p_0 + \frac{F}{S} $$ | | $$ p = p_0 + \frac{F}{S} $$ |
| | | |
| Количество теплоты, переданное газу от спирали складывается из двух частей - переданного до начала движения поршня Q1 и переданного после этого Q2: | | Количество теплоты, переданное газу от спирали складывается из двух частей - переданного до начала движения поршня Q1 и переданного после этого Q2: |
| | | |
| $$Q = Q_1 + Q_2$$ | | $$Q = Q_1 + Q_2$$ |
| | | |
| Известно, что половина тепла, выделяющегося при трении поршня о стенки возвращается в газ, тогда первый закон термодинамики будет выглядеть так: | | Известно, что половина тепла, выделяющегося при трении поршня о стенки возвращается в газ, тогда первый закон термодинамики будет выглядеть так: |
| | | |
| $$Q_2 + Q_{тр} = A' + \Delta U$$ | | $$Q_2 + Q_{тр} = A' + \Delta U$$ |
| | | |
| | | |
| Рассмотрим работу трения на перемещении поршня $x$: | | Рассмотрим работу трения на перемещении поршня $x$: |
| | | |
| $$ A_{тр} = F x $$ | | $$ A_{тр} = F x $$ |
| | | |
| Изменение объема газа на этом перемещении: | | Изменение объема газа на этом перемещении: |
| | | |
| $$ \Delta V = xS $$ | | $$ \Delta V = xS $$ |
| | | |
| А с другой стороны из уравнения Менделеева-Клапейрона для идеального газа: | | А с другой стороны из уравнения Менделеева-Клапейрона для идеального газа: |
| | | |
| $$ \Delta V = \frac{\nu R \Delta T}{p} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}}$$ | | $$ \Delta V = \frac{\nu R \Delta T}{p} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}}$$ |
| | | |
| Тогда перемещение поршня можно выразить следующим образом: | | Тогда перемещение поршня можно выразить следующим образом: |
| | | |
| $$ x = \frac{\Delta V}{S} = \frac{1}{S} \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$ | | $$ x = \frac{\Delta V}{S} = \frac{1}{S} \frac{\nu R \Delta T}{p_0 + \frac{F}{S}} = \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$ |
| | | |
| И тогда работа трения: | | И тогда работа трения: |
| | | |
| $$A_{тр} = F \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$ | | $$A_{тр} = F \frac{\nu R \Delta T}{p_0S + F}$$ |
| | | |
| Половина этой энергии возвращается в газ: | | Половина этой энергии возвращается в газ: |
| | | |
| $$Q_{тр} = \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)}$$ | | $$Q_{тр} = \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)}$$ |
| | | |
| Работа газа в изобарном процессе: | | Работа газа в изобарном процессе: |
| | | |
| $$ A' = p \Delta V = \nu R \Delta T$$ | | $$ A' = p \Delta V = \nu R \Delta T$$ |
| | | |
| Изменение внутренней энергии газа, как уже было показано выше: | | Изменение внутренней энергии газа, как уже было показано выше: |
| | | |
| $$ \Delta U = c \Delta T $$ | | $$ \Delta U = c \Delta T $$ |
| | | |
| Запишем первый закон термодинамики, подставив в него полученные выражения для количества теплоты от работы трения, передаваемого газу, работы газа, а также изменение внутренней энергии газа: | | Запишем первый закон термодинамики, подставив в него полученные выражения для количества теплоты от работы трения, передаваемого газу, работы газа, а также изменение внутренней энергии газа: |
| | | |
| $$ Q_2 + \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)} = \nu R \Delta T + c \Delta T $$ | | $$ Q_2 + \frac{F \nu R \Delta T}{2(p_0 S + F)} = \nu R \Delta T + c \Delta T $$ |
| | | |
| Преобразуем: | | Преобразуем: |
| | | |
| $$Q_2 = \Delta T \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right) $$ | | $$Q_2 = \Delta T \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right) $$ |
| | | |
| Изменение температуры отсчитываем с момента начала движения поршня: | | Изменение температуры отсчитываем с момента начала движения поршня: |
| | | |
| $$ \Delta T = T - T_1 = T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) $$ | | $$ \Delta T = T - T_1 = T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) $$ |
| | | |
| Количество теплоты, переданное газу после начала движения поршня от спирали: | | Количество теплоты, переданное газу после начала движения поршня от спирали: |
| | | |
| $$ Q_2 = Q - Q_1 = Q - \frac{cT_0F}{p_0S} $$ | | $$ Q_2 = Q - Q_1 = Q - \frac{cT_0F}{p_0S} $$ |
| | | |
| Получаем: | | Получаем: |
| | | |
| $$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \left(T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) \right) \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right)$$ | | $$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \left(T - T_0 \left( 1 + \frac{F}{p_0S}\right) \right) \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right)$$ |
| | | |
| $$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \left(T - T_0 - \frac{T_0 F}{p_0S} \right) \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right)$$ | | $$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \left(T - T_0 - \frac{T_0 F}{p_0S} \right) \left( \nu R + c - \frac{F \nu R}{2(p_0 S + F)} \right)$$ |
| | | |
| Раскроем скобки: | | Раскроем скобки: |
| | | |
| $$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \nu R T - \nu R T_0 - \frac{\nu R T_0 F}{p_0S} + cT - cT_0 -\frac{cT_0F}{p_0S} - \frac{T F \nu R}{2(p_0 S + F)} + \frac{T_0 F \nu R}{2(p_0 S + F)} + \frac{T_0 F^2 \nu R}{2p_0S(p_0 S + F)}$$ | | $$ Q - \frac{cT_0F}{p_0S} = \nu R T - \nu R T_0 - \frac{\nu R T_0 F}{p_0S} + cT - cT_0 -\frac{cT_0F}{p_0S} - \frac{T F \nu R}{2(p_0 S + F)} + \frac{T_0 F \nu R}{2(p_0 S + F)} + \frac{T_0 F^2 \nu R}{2p_0S(p_0 S + F)}$$ |
| | | |
| Сократим подобные: | | Сократим подобные: |
| | | |
| $$ Q=\nu RT-\nu RT_0-\frac{\nu RT_0F}{p_0S}+cT-cT_0-\frac{TF\nu R}{2(p_0S+F)}+\frac{T_0F\nu R}{2(p_0S+F)}+\frac{T_0F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}$$ | | $$ Q=\nu RT-\nu RT_0-\frac{\nu RT_0F}{p_0S}+cT-cT_0-\frac{TF\nu R}{2(p_0S+F)}+\frac{T_0F\nu R}{2(p_0S+F)}+\frac{T_0F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}$$ |
| | | |
| Соберем множители при $T$ и $T_0$: | | Соберем множители при $T$ и $T_0$: |
| | | |
| $$ Q=T \left(\nu R + c - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\right) - T_0\left( \nu R + c + \frac{\nu RF}{p_0S} - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)} - \frac{F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}\right) $$ | | $$ Q=T \left(\nu R + c - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\right) - T_0\left( \nu R + c + \frac{\nu RF}{p_0S} - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)} - \frac{F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}\right) $$ |
| | | |
| Преобразуем два последних слагаемых в последней скобке: | | Преобразуем два последних слагаемых в последней скобке: |
| | | |
| $$-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}-\frac{F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}=-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\left(1+\frac{F}{p_0S}\right) = $$ | | $$-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}-\frac{F^2\nu R}{2p_0S(p_0S+F)}=-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\left(1+\frac{F}{p_0S}\right) = $$ |
| | | |
| $$=-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\cdot\frac{p_0S+F}{p_0S}=-\frac{F\nu R}{2p_0S}$$ | | $$=-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\cdot\frac{p_0S+F}{p_0S}=-\frac{F\nu R}{2p_0S}$$ |
| | | |
| Тогда вся скобка: | | Тогда вся скобка: |
| | | |
| $$\nu R+c+\frac{\nu RF}{p_0S}-\frac{F\nu R}{2p_0S} = \nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}$$ | | $$\nu R+c+\frac{\nu RF}{p_0S}-\frac{F\nu R}{2p_0S} = \nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}$$ |
| | | |
| И выражение теперь выглядит так: | | И выражение теперь выглядит так: |
| | | |
| $$ Q=T \left(\nu R + c - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\right) - T_0\left( \nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}\right) $$ | | $$ Q=T \left(\nu R + c - \frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}\right) - T_0\left( \nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}\right) $$ |
| | | |
| Тогда, выражая $T$: | | Тогда, выражая $T$: |
| | | |
| $$T=\frac{Q+T_0\left(\nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}\right)}{\nu R+c-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}}$$ | | $$T=\frac{Q+T_0\left(\nu R+c+\frac{\nu RF}{2p_0S}\right)}{\nu R+c-\frac{F\nu R}{2(p_0S+F)}}$$ |
| | | |
| Подставив $\nu = 1$ получаем ответ для $Q \ge Q_1$ | | Подставив $\nu = 1$ получаем ответ для $Q \ge Q_1$ |
| | | |
| $$T=\frac{Q+T_0\left(R+c+\frac{RF}{2p_0S}\right)}{R+c-\frac{FR}{2(p_0S+F)}}$$ | | $$T=\frac{Q+T_0\left(R+c+\frac{RF}{2p_0S}\right)}{R+c-\frac{FR}{2(p_0S+F)}}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| | | |
| $$T=\left[\begin{array}{ll}T_0+\dfrac{Q}{c}, & Q\le Q_1, \\\ \dfrac{Q+T_0\left(R+c+\dfrac{RF}{2p_0S}\right)}{R+c-\dfrac{FR}{2(p_0S+F)}}, & Q\ge Q_1.\end{array}\right]$$ | | $$T=\left[\begin{array}{ll}T_0+\dfrac{Q}{c}, & Q\le Q_1, \\\ \dfrac{Q+T_0\left(R+c+\dfrac{RF}{2p_0S}\right)}{R+c-\dfrac{FR}{2(p_0S+F)}}, & Q\ge Q_1.\end{array}\right]$$ |
